本篇为樊昌信,曹丽娜. 通信原理(第七版)[M]. 北京:国防工业出版社(2012)的笔记(2):确知信号。
- 确知信号:在定义域内的任意时刻都有确定的函数值。否则,为随机信号或不确知信号。
2. 确知信号
2.1 确知信号类型
能量
E=∫−∞∞s2(t)dt
功率
P=T→∞limT1∫−2T2Ts2(t)dt
能量信号:
0<E<∞且
P→0。功率信号:
0<P<∞且
E→0
2.2 确知信号的频域性质
- 周期性功率信号的频谱:对于周期功率信号可展开为指数型傅里叶级数。
s(t)=n=−∞∑∞CneT0j2πnt
其中傅里叶级数的系数
Cn=C(nf0)=T01∫−2T02T0s(t)e−j2πnf0tdt=∣Cn∣ejθn
称为信号的频谱,反映了信号中各次谐波的幅度值
∣Cn∣和相位值
θn。式中
f0=T01称为信号的基频。
nf0称为信号的
n次谐波频率。
n=0时为直流分量。
- 周期功率信号频谱的性质:对于物理可实现的信号,正频率和负频率部分间存在复数共轭关系。
Cn的模偶对称,相位奇对称。
C−n=T01∫−T0/2T0/2s(t)e+j2πnf0tdt=[T01∫−T0/2T0/2s(t)e−j2πnf0tdt]=Cn∗
三角形式的傅里叶级数:
s(t)=C0+n=1∑∞[an2+bn2
cos(2πnt/T0+θ)]
其表明:(1)实周期信号可分解为直流分量、基波和各次谐波分量的线性叠加。(2)振幅和相位称为单边谱。(3)频谱函数
Cn称为双边谱。若
s(t)是实偶信号,则
Cn为实函数。 若
s(t)不是偶信号,则
Cn为复函数。
-
能量信号的频谱密度:能量信号的傅里叶变换与反演。
S(f)=∫−∞∞s(t)e−j2πnftdts(t)=∫−∞∞S(f)ej2πnftdf
区别:
S(f)是连续谱,
Cn是离散谱。实能量信号频谱密度和实功率信号频谱的共同特性:负频谱和正频谱的模偶对称,相位奇对称,即复数共轭。
-
**
δ函数的性质 **:(1)可用抽样函数的极限表示。
δ(t)=k→∞limπkSa(kt)
(2)
f(t0)=∫−∞∞f(t)δ(t−t0)dt
(3)
δ函数可以看作是单位阶跃函数的导数。
-
能量信号的能量谱密度:
G(f)=∣S(f)∣2
能量Parseval定理:
E=∫−∞∞s2(t)dt=∫−∞∞∣S(f)∣2df=∫−∞∞G(f)df=2∫0∞G(f)df
-
功率信号的功率谱密度:
P(f)=T→∞limT1∣ST(f)∣2
ST(f)为截断信号
sT(t)的傅里叶变换。
功率Parseval定理:
P=T→∞limT1∫−T/2T/2s2(t)dt=∫−∞∞P(f)df
周期信号的Parseval定理:
P=n=−∞∑∞∣Cn∣2
P(f)=n=−∞∑∞∣Cn∣2δ(f−nf0)
2.3 确知信号的时域性质
- 能量信号的自相关函数:
R(τ)=∫−∞∞s(t)s(t+τ)dt
当
τ=0时
R(0)等于信号的能量。
R(τ)=R(−τ)。
R(τ)与
∣S(f)∣2是一对傅里叶变换。
- 功率信号的自相关函数:
R(τ)=T→∞limT1∫−T/2T/2s(t)s(t+τ)dt
当
τ=0时
R(0)等于平均功率。
R(τ)=R(−τ)。
R(τ)与
P(f)是一对傅里叶变换。
R12(τ)=T→∞limT1∫−T/2T/2s1(t)s2(t+τ)dt
R12(τ)=R21(−τ)。
R12(τ)和
C12是一对傅里叶变换。互功率谱:
C12=(Cn)1∗(Cn)2。