题意:一个森林的代价为内部每个节点的度数平方和,求所有为n个点的森林代价之和。
题解:
先上一下公式:
定义:
为
个节点的森林种数,令
,显然
先来求这个数组。
考虑已知
怎么求
公式长这样:
,如果
单独成一棵树,那么产生的贡献便是
考虑节点
放在一颗树大小为
上,那么这棵树的节点选择种数便是
,剩下的
个节点形成的森林种数便是
,后面部分就是来算节点
放在大小为
的树上(指的是
放完树的大小为
)形成的树的种数。
我们知道一颗大小为
的树可以用一个长度为
的序列唯一表示,具体看 prufer序列
那么枚举节点
在序列中出现的次数
,显然出现
次的序列种数为
,即取出j个位置放n,剩下的i-2-j个位置在选出的i个节点除了节点n以外随便选
看公式可以发现,给定
后面求和部分是确定的,也就是你可以预处理后面的
令
则
即预处理出C数组和
,就可以
求出
数组。
接下来求解
给定
,答案为
显然各个节点对答案产生的贡献是相同的,所以计算
号节点产生的贡献然后乘以
(即是最前面的
)就是答案了。
接下来的做法就跟计算
的做法大同小异了
枚举节点1在一棵大小为
上的树,然后枚举点1在这棵大小为
的树上的度数,即可变成在一个长度为
的序列中出现的次数(详见
序列)跟
数组不同的其实就是前面
而已,同样预处理出后面部分
则答案就是
代码中的数组都跟上述描述的一致
时间复杂度
代码:
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define endl '\n'
#define rep(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define per(i,r,l) for(int i=r;i>=l;i--)
#define fi first
#define se second
#define lc T[p].l
#define rc T[p].r
#define mid (l+r>>1)
#define lson lc,l,mid
#define rson rc,mid+1,r
#define sum T[p].val
#define pii pair<int,int>
const int MX=5e3+7;
int mod=1e9+7;
const double pi=3.1415926535897932384;
double isp=1e-13;
using namespace std;
ll qpow(ll a,ll b,ll MOD=mod){for(ll ans=1;;a=a*a%MOD,b>>=1){if(b&1)ans=ans*a%MOD;if(!b)return ans;}}
ll inv(ll a,ll MOD=mod){return qpow(a,MOD-2,MOD);}//要求MOD为质数
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){if(b==0){x=1,y=0;return a;}ll ret=exgcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;return ret;}
ll getInv(int a,int mod){ll x,y;ll d=exgcd(a,mod,x,y);return d==1?(x%mod+mod)%mod:-1;}//求a在mod下的逆元,不存在逆元返回-1,不要求MOD为质数
ll p[MX],res[MX]={1,1},ans[MX],G[MX],g[MX][MX],C[MX][MX],f[MX];
void init()
{
C[0][0]=1;
for(int i=1;i<MX;i++)C[i][0]=C[i][i]=1;
for(int i=1;i<MX;i++)
{
for(int j=1;j<MX;j++)
{
C[i][j]=C[i-1][j]+C[i-1][j-1];
C[i][j]%=mod;
}
}
for(int i=1;i<MX;i++)
{
g[i][0]=1;
for(int j=1;j<MX;j++)
{
g[i][j]=g[i][j-1]*i%mod;
}
}
for(int i=1;i<MX;i++)
{
for(int j=0;j<=i-2;j++)
{
f[i]+=(j+1)%mod*(j+1)%mod*C[i-2][j]%mod*g[i-1][i-2-j]%mod;
G[i]+=C[i-2][j]*qpow(i-1,i-2-j)%mod;
f[i]%=mod;
G[i]%=mod;
}
}
for(int n=2;n<MX;n++)
{
for(int i=2;i<=n;i++)
{
ll r=C[n-1][i-1]*res[n-i]%mod;
res[n]+=r*G[i]%mod;
res[n]%=mod;
}
res[n]+=res[n-1];
res[n]%=mod;
}
}
void solve()
{
int n;
cin>>n;
ll ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
ll r=C[n-1][i-1]*res[n-i]%mod;
ans+=r*f[i]%mod;
}
cout<<ans*n%mod<<endl;
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0);
int t;
cin>>t;
cin>>mod;
init();
while(t--)
{
solve();
}
}