刷题系列——计数 dp

HDU 4165 Pills

一个瓶子里有 $n$ 片药，每天取出一片药。如果取到的药是整片的，就把它分成两半，吃掉其中的一半，另一半重新放入瓶中。如果取到半片药，则直接吃掉。问 $2 \times n$ 天内吃完药有多少种取法。

只有取出一个完整药片后，才会让袋子里增加一个半药片。也就是说我们只有在取出 $n$ 个完整药片和 $n$ 个半药片后，药袋才能为空。第一个做法是 dp。将问题转换成一个 $n \times n$ 的正方形。从 $(1,1)$ 出发，如果取出了完整药片，那么就往下走一步；如果取出了半药片，那么就往右走一步，不能超出正方形的边界，求到达 $(n,n)$ 的方案数。设 $f_{i,j}$ 为从 $(1,1)$ 走到 $(i,j)$ 的方案数。转移方程为

$f_{i,0}=1$

$f_{i,j}=f_{i,j-1}+f_{i-1,j} \quad (j \leq i)$

第二个做法是卡特兰数，将问题转换成括号匹配序列即可。

CF44H Phone Number

给你一个序列，生成一个新序列。第一个数任意选，之后的第 $i$ 个新数 $=$ 第 $i-1$ 个新数 $+$ 第 $i$ 个原数的一半来生成。如果乘除，则新数 $i$ 唯一，否则新数 $i$ 可以向上或向下取整。求共能生成多少个不同的序列。

令 $dp{i,j}$ 表示确定了前 $i$ 位且第 $i$ 位为 $j$ 的方案数，填表不好推，不如用刷表来转移。令 $x=\left \lfloor \frac{i+1,j+a_{i+1}}{2} \right \rfloor$ 和 $y=\left \lceil \frac{i+1,j+a_{i+1}}{2} \right \rceil$ 。

$f_{i + 1, x} = f_{i + 1, x} + f_{i,j}$

$f_{i + 1, y} = f_{i + 1, y} + f_{i,j} \quad (x \not= y)$

值得一提的是，如果生成的新序列与原序列相同，那么方案数少一。

CF1105C Ayoub and Lost Array

有一个长度为 $n$ 的序列，每个元素在 $[l,r]$ 内。求有多少不同的和为 $3$ 的倍数的序列。

令 $f_{i,0 \sim 2}$ 为前 $i$ 个数的和余数为 $0 \sim 2$ 的方案数。令 $s_{0 \sim 2}$ 为 $[l,r]$ 内 $\mod 3$ 余数为 $0 \sim 2$ 的数的个数，可以 $O(1)$ 预处理。转移方程为

$f_{i,j}=s_i \times f_{0,j-1} + s{(i-1) \mod 3} \times f_{1,j-1} + s_{(i-2) \mod 3} \times f_{2,j-1}$

HDU 2569 彼岸

设 $f_i$ 为有多少个长度为 $i$ 的合法颜色。考虑前两个颜色，如果不同同方案数为 $f_{i-2} \times 3$ ，如果相同那么只能选两个颜色，先从 $f_{i-1}$ 转移，因为 $f_{i-1}$ 包含了 $f_{i-2}$ 所以方案数为 $(f_{i-1} - f_{i-2}) \times 2$ 。综上所述，化简后的转移方程为

$f_1=1,f_2=9$

$f_i=2 \times f_{i-2} +f_{i-2}$

TOJ 1017 Staircases

给定一个数，求将 $n$ 个数划分为单调递增序列的和的方案数。

有二维状态的写法，不过一维状态很妙。

设 $f_{i,j}$ 为用了 $i$ 个砖块最大高度为 $j$ 的方案数。对于 $f_{i,j}$ ，可以在高度为 $j-1$ 的一列加上一块，也可以在高度为 $j-1$ 的后面那一列新建一个高度为 $j$ 的梯子。所以状态转移为

$f_{i,j} = f_{i,j-1} + f_{i-j,j-1}$

可以发现， $j$ 只与 $j-1$ 有关，可以把 $j$ 的那一维滚动优化掉，因为是滚动数组，所以转移前面就没了。所以枚举一个 $j$ ，在边界中枚举一个 $i$ 进行转移。

CF176B Word Cut

求经过 $k$ 次将 $S$ 划分成两部分并交换使 $S$ 串变成 $T$ 串的方案数。

可以发现，每次可以将原串变为本质不同的其他串，也可以从其他串变为原串。无论多少次变换，归根结底都可以通过仅一次变换求出，所以先预处理出一个 $x$ 来表示原串通过一次变换有多少个 $T$ 。暴力和 kmp 都可以，由于数据范围不大所以选择前者。

设 $f_{i,0}$ 为经过 $i$ 次变换所产生的原串个数， $f_{i,1}$ 为其他串的个数。不如将 $T$ 看作原串。如果 $S \not= T$ ，那么 $S$ 为其他串。转移方程如下

$f_{i,0} = x \times f_{i-1,1} + (x - 1) \times f_{i-1,0}$

$f_{i,1} = (|S| - x) \times f_{i-1,0} + (|S| - x - 1) \times f_{i-1,1}$

CF1097B Petr and a Combination Lock

给你一个圆形的密码锁，中间的指针初始在刻度 $0$ 上，每次操作要旋转 $a_i$ 度，你可以改变每次旋转是顺时针还是逆时针，问是否有方法可以使得最后指针回到 $0$ 刻度上。

设 $f_{i,j}$ 为前 $i$ 个数是否可以组成 $g$ 。则有
$f_{0,0} = 1$

$f_{i,j} = f_{i-1, j - a_i} | f_{i-1,j+a_i}$