距离

给定平面上的 $n$ 个点, 求它们两两之间的切比雪夫距离之和。两点之间的切比雪夫距离定义为 $\max \left(\left|x_{1}-x_{2}\right|,\left|y_{1}-y_{2}\right|\right)$。

曼哈顿距离为 $|x_1 - x_2| |y_1-y_2|$。

那么，切比雪夫距离和曼哈顿距离是可以相互转换的。

• $(x,y) \to (x + y, x- y)$ 将曼哈顿距离转换成了切比雪夫距离。
• $(x,y) \to (\frac{x+y}{2}, \frac{x-y}{2})$ 将切比雪夫距离转换成了曼哈顿距离。

可以说，遇到切比雪夫距离就把它转换成曼哈顿距离试一试，遇到曼哈顿距离就把它转换成切比雪夫距离试一试。常见的是将切比雪夫距离转换成曼哈顿距离，用前缀和做些事情。

令 $x = x + y, y = x-y$ 那么将答案除以二就行。那么开始推式子

$\begin{aligned} a n s &=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i+1}^{n}\left|x_{i}-x_{j}\right|+\left|y_{i}-y_{j}\right| \\ &=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i+1}^{n}\left|x_{i}-x_{j}\right|+\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i+1}^{n}\left|y_{i}-y_{j}\right| \end{aligned}$

到现在 $x$ 和 $y$ 已经独立，分开算即可，以 $x$ 为栗子，将 $x$ 从大到小排序来去掉绝对值

$\begin{aligned} a n s &=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i+1}^{n}\left(x_{i}-x_{j}\right) \\ &=\left(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i+1}^{n} x_{i}\right)-\left(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i+1}^{n} x_{j}\right) \\ &=\sum_{i=1}^{n}(n-i) x_{i}-\sum_{i=1}^{n}(i-1) x_{i} \\ &=\sum_{i=1}^{n}(n-2 i+1) x_{i} \end{aligned}$

时间复杂度 $O(n \log n)$，可以用基数排序做到线性。

因子

给定一个正整数 $n$，每次选择当前 $n$ 的一个因子 $a$ 并将 $n$ 减去 $a$，求至少操作几次才能让 $n = 1$。多组询问。

询问数那么多，一般是 dp 预处理了。

令 $f_i$ 为把 $i$ 减到 $1$ 的最少操作次数。转移比较简单

$f_i = \min_{j|i} f_{i-j} + 1$

$j$ 是因子，可以 $\sqrt{n}$ 枚举，用 PR 算法可以跑的更快。

树

给定一棵 $n$ 个点的树，定义 $f(l, r)$ 为保留这棵树上所有编号在 $l$ 和 $r$ 之间的点的时候, 连通块的个数。求
$\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i}^{n} f^{k}(i, j)$

$1\le n\le 100000,1\le k\le 2$

求的其实是点数 $-$ 边数。可以发现 $k \in [1,2]$，那就分类讨论下

• $k = 1$

$\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i}^{n} u(l,r)-v(l,r) = \\ \sum_{i=1}^{n} u(l,r) - \sum_{j=i}^{n}v(l,r)$

左边的式子找规律发现为 $1,4,10,35,\cdots$，用通项公式可以求出 $a_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

再考虑边，对于每条边 $(x,y)$ 要求有多少个区间包括它，当然是选择的区间同时包括 $x,y$ 了。找规律可以发现是 $x(n-y+1)$。

其实 $k=2$ 的做法完全可以做 $k=1$，不过学下这个思路也不错。

• $k=2$

考虑枚举一个左端点，统计右端点的贡献，所以让左端点从右向左枚举

所以维护一棵平方和的线段树即可 Link。