刷题系列——最短路和生成树

欧拉回路

P1341 无序字母对

给定 $n$ 个各不相同的无序字母对。请构造一个字典序最小的有 $(n+1)$ 个字母的字符串使得每个字母对都在这个字符串中出现。

给定的字母对两个字母必须连续出现，而且只出现一次。所以考虑将构成无序对的两个字母连无向边，如果构成的图是欧拉图，那么有解跑欧拉回路即可。因为要求字典序最小，所以每次先遍历小点再遍历大点，可以用一个堆维护。

CF547D Mike and Fish

给定平面上的 $n$ 个点的坐标，你需要将每一个点进行红蓝. 染色，满足任意一行一列红蓝点的数量之差不超过 $2$ 。 $1 \leq n \leq 2 \times 10^{5}$

先对坐标离散化。对于一个点 $(x,y)$ 我们连一条 $x$ 到 $n + y$ 的边，那么问题转换成了给边定向，让每个点的入度和出度之差不超过一。分类一下，度数相同的在无向图上就是每个点的度数为偶数。度数差为一的在无向图上每个点的度数为奇数，那么再把这些奇数点连到虚拟点上，那么度数就是偶数了，再考虑虚拟点，因为奇数点个数一定为偶数，跑欧拉回路即可。

还有二分图染色的方法。将横纵坐标相同的点两两连边，构成了二分图，剩下的点最多一个不用管。然后进行二分图染色即可。女少口阿。

P4568 飞行路线

给定一张 $n$ 个点 $m$ 条边的带权无向图，你可以把至多 $k$ 条边的边权变成 $0$ ，求从 $s$ 到 $t$ 的最短路。 $2 \leq n \leq 10^{4}, 1 \leq m \leq 5 \times 10^{4}, 0 \leq k \leq 10$ 。

分层图。设 $d_{i,j}$ 为到 $i$ 点用了 $j$ 次的最短路。

P2761 软件补丁问题

有一款软件有 $n$ 个 BUG，还有 $m$ 个补丁。对于每一个补丁，都有两个 BUG 集合 $B_{1}, B_{2},$ 表示只有当这个软件包含了 $B_1$ 中的所有 BUG 而不包含 $B_2$ 中的任意一个 BUG 的时候，这个补丁才能使用。
对于每一个补丁，它会修复一个 BUG 集合 $F_{1},$ 同时引人另一个 BUG 集合 $F_{2},$ 运行需要 $t$ 的时间。求将所有 BUG 都修复需要的最短时间，无法修复输出 $-1$ 。

$1 \leq n \leq 20,1 \leq m \leq 100$

将 BUG 状压，把一个状压的状态看成一个点，如果通过一个补丁能从一个点到另一个点，那么就连边，边权为时间。跑 Dijkstra 即可。

生成树瓶颈树最短路树

最小生成树即为最小瓶颈树，最大生成树即为最大瓶颈树。

void Kruskal() {
	int ans = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) f[i] = i;
	sort(e + 1, e + tot + 1, cmp);
	int cnt = 0;
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		int x = e[i].x, y = e[i].y, z = e[i].z;
		int ux = find(x), uy = find(y);
		if (ux != uy) {
			ans += z; f[ux] = uy;
			if (++cnt == n - 1) break;	
		} 
	}}

如果将一个点到其余所有点的路径保留其它的删掉，那么构成了一棵树，这棵树叫最短路树。

P1967 货车运输

一张 $n$ 个点 $m$ 条边的图，每一条边有一个限重。现在有 $q$ 组询问，每次问你从 $u$ 到 $v$ ，在不超过限重的情况下，重量最大可以是多少。 $n \leq 10^{4}, m \leq 5 \times 10^{4}, q \leq 3 \times 10^{4}$

解法还是很多的，这里可以发现要让最小值尽可能大，所以建立一棵最大生成树。把路径用 lca 转一下即可。

P3953 逛公园

给你一张 $n$ 个点 $m$ 条边的有向图，问你从 $1$ 到 $n$ 与最短路的差不超过 $k$ 的路径有多少条。可能有 $0$ 边，如果数量无限输出 $-1$ 。路径可以重复经过一个点。

$n \leq 100000, m \leq 200000, k \leq 50$ 。

可以发现，合法路径有无限个当且仅当有一个全为 $0$ 的环中的一个点在最短路的路径上。先正反建边跑一下 dijkstra，令 $d_1$ 为 $1$ 的单源最短路， $d_2$ 为 $n$ 的单源最短路。对于一条边 $(u,v)$ ，如果有 $d(u) + d(v) = d_n$ ，这意味着 $w(u,v) = 0$ ，那么把这条边加入新的图中。再拓扑排序判断有没有环，搞定了 $-1$ 。

$k$ 小，那么就分层图了。设 $f_{i,j}$ 为从 $1$ 到 $i$ ，与最短路差为 $j$ 的路径有多少条。用类似最短路松弛的方式计数转移即可。

CF1163F Indecisive Taxi Fee

3k 难度的神仙题，能学到不少套路。

给你一张 $n$ 个点 $m$ 条边的图，有 $q$ 次询问，每次问你如果更改一条边的边权，从 $1$ 到 $n$ 的最短路是多少。

容易想到正反建边，预处理处理从 $1$ 和从 $n$ 走的最短路径，分别为 $d_1$ 和 $d_2$ 。分类讨论一下，令改的是 $(a,b)$ 这条边

改的边不在最短路上，且改大了。不用管。
改的边不在最短路上，且改小了。拿 $d_1(a) + d_2(b) + w(a,b)$ 与原来的最短路取最小值。
改的边在最短路上，且改大了。新的最短路有可能绕过被修改的边，好像不好搞先一放。
改的边在最短路上，且改小了。在最短路的基础上减一下即可。

考虑第三类。如果把改的边删掉，求不经过这条边的最短路，与原来的最短路加改边产生的贡献取最小值即可。而且求不经过某条边的最短路会有多次询问。

先考虑经过一个点的最短路，可以删最短路上点的范围。

令最短路为 $E_1 \sim E_k$ ，枚举一条边 $(u,v)$ 。经过 $(u,v)$ 的最短路径也会经过 $E_1 \sim E_x$ 和 $E_y \sim _n$ ，相当于最短路的前缀和后缀或为空。那么考虑求 $x$ 和 $y$ ，可以在前面的第一次 Dijkstra 中，记录最短路的路径，在正反两向的 Dijkstra 分别求出每个点的 $x$ 和 $y$ 。如果能松弛，看看点在不在最短路径上，不在的话就继承父亲的 $x$ 或 $y$ ，正确性显然。因为最短路先松弛下标小的点，所以不用担心有另一个最短路的范围比我们求的大。

再考虑经过一条边允许删的点的范围，考虑边的两个点 $u,v$ 可能会有多个情况，所以范围是 $u_x + 1 \sim v_y - 1$ 和 $v_x + 1 \sim u_y - 1$ 。那么维护一棵 $1 \sim k$ 的线段树，将这两段用 $d_1(u)+d_2(v)$ 更新最小值即可。查询时，找不包括给定边的两个点的所有区间的最小值。

细节多，时间复杂度 $O((m+q) \log n)$ 。确认了码量，是我调不出的题 /kk。