前缀和 + 贪心 - Combination of Physics and Maths - 2020牛客暑期多校训练营（第六场）

题意：

$一个矩阵的底面积定义为最后一行的数的和，重量定义为所有数的和，$

$给一个正整数矩阵，找一个“压强” 最大的可非连续子矩阵。$

输入：

$T组测试数据，$

$每组包括两个正整数n和m，表示矩阵的行和列，$

$接着输入一个n行m列的矩阵。$

输出：

$所有的子矩阵(可不连续)中，压强的最大值。输出误差不超过10^{-8}。$

示例1
输入

1
3 3
1 3 5
6 8 9
2 7 4

输出

4.50000000

说明：

$\begin{bmatrix}1&5\\6&9\\2&4\end{bmatrix}为所有子矩阵中，压强最大的，最大压强为：\frac{1+5+6+9+2+4}{2+4}=4.5$

数据范围:

$T≤100，1≤n,m≤200，1≤a_{i,j​}≤5⋅10^4$

分析：

$①：假设选定某个底为第i行的子矩阵，那么该子矩阵在最优情况下，顶部一定是在第一行。$

$\qquad这就暗示我们，可能需要对矩阵的每一列预处理前缀和。$

$②：假设当前已选择的某几列构成的子矩阵的重量为a_1，底面积为b_1，则压强为\frac{a_1}{b_1}，$

$\qquad对于重量为a_2，底面积为b_2的列，$

$\qquad若有\frac{a_1}{b_1}>\frac{a_2}{b_2}，则有\frac{a_1}{b_1}>\frac{a_1+a_2}{b_1+b_2}，即不选择该列时，压强更大。(移项作差可证)$

$这样，对于每一行，我们计算出每一列的压强最大值，最后在所有最大值取一个最大值即可。$

代码：

#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>

using namespace std;

const int N=210;

int T,n,m;
double a[N][N],sum[N][N];

int main()
{
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=m;j++)
                sum[i][j]=0;
        
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=m;j++)
                scanf("%lf",&a[i][j]);
                
        for(int j=1;j<=m;j++)
            for(int i=1;i<=n;i++)
                sum[i][j]=sum[i-1][j]+a[i][j];
        
        double res=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            double maxb=0;
            for(int j=1;j<=m;j++) maxb=max(maxb,sum[i][j]/a[i][j]);
            res=max(res,maxb);
        }
        
        printf("%.8lf\n",res);
    }
    return 0;
}