以提问的方式复习高等数学
第一章 极限与连续性
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函数注意:
- 函数:定义域中任意值 唯一确定
- 复合函数:定义域的嵌套
- 反函数:值域与定义域的转变
- 基本函数:幂,指,对,三角,反三角
- 有界性:建立在函数基础,M>0, 绝对值, 充要条件:上下界都有
- 单调性:建立在函数基础上,定义域的变化与值域的变化同步
- 奇偶性:建立在函数基础上(但定义域强调原点对称) ,对称取值是否相等
- 周期性:建立在函数基础上,T>0, x+T仍属定义域
- 符号函数:sgn(x), (值域变化:-1,0,1)
- 狄利克雷函数:D(x), 永不连续, 有理/无理为区分
- 取整函数: [x],左侧,最大整数
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极限注意:
- 极限:任意小数>0,n>N>0, 值与极限绝对值小于任意小数
- 极限:任意小数>0,存在‘可赛’>0, 去心领域中,值与极限绝对值小于任意小数
- x趋于a:(1)意指x一定不等于a (2)可以从负和正方向取
- 极限的在某点存在与该点函数值存在无关联
- 左/右极限:f(a-0),f(a+0) (幂函数中分类讨论)
- 无穷小:极限值为0,趋于某点时函数值
- 无穷小之间加减乘,和有理数,有界函数乘,仍是无穷小
- 背:四大类等价无穷小,两个重要极限 应用:碰到次方考虑第二个重要极限(结果为e),(凑次方,底凑出形如1+)
- 化简方法:恒等变形,变量代换,洛必达法则,通分,取倒数,约去零因子(零因子:极限值为0,但本身不为0)
- 利用泰勒公式,中值定理,迈克劳林公式( ,sinx,tanx,cosx,ln(1+x), )
- 若级数 存在,则
- 高阶无穷小:小o 同阶无穷小:大O 等价无穷小:~
- 唯一性:存在必唯一
- 保号性:去心领域中,函数值与极限值同正负 应用:验证极值点
- 数列有界必收敛,反之不行(参考经典反例)
- 列有极限,子列必有相同极限。反之不行。
- 夹逼定理:两边求极限夹住中
- 单调增有上界有极限,单调减有下界有极限
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连续注意
- 连续:极限值等于函数值
- 闭区间连续: 不含端点处处连续,C[a,b]
- 第一类间断点: 可去(极限存在,该点函数值错误),跳跃(左右极限不等)
- 第二类间断点:存在无穷
- 连续闭区间:
- 最值定理:有最大/小值 有界定理:有最值当然有界
- 零点定理:端点之积<0,在(a,b) 内有0点 应用:(a,b)内,构建端点积<0的新函数
- 介值定理:在[a,b]中,必有值(最小<值<最大)应用:针对函数相加问题
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导数注意:
- 导数:某点特殊极限
- 渐近线:
- 水平渐近线:有极限,则以极限为渐近线
- 铅直渐近线:极限无穷,则以某点垂直x轴为线
- 斜渐近线:一次函数,极限下k的值
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极限问题:
- 证明中:利用绝对值与任意小数关系,找出N的值
- 经典反例: ,
- 极限存在条件? 左右极限都相等
- tanx与cosx的关系? 求导,sinx提tanx
- 乘法的等价无穷小换算直接用,加法需要观察是否分子与分母次数一致