7.4.2 解的稳定性、病态矩阵、矩阵条件数
根据通解
x=xp+xz=b1U/σ1v1+⋯+brU/σrvr+(k1vr+1+⋯+kn−rvn)biU=uiTb为在坐标系U下的坐标分量,ki是任意实数
如果
b 由于测量误差或计算舍入误差变为
b+Δb ,则解也会变为
x+Δx ,由于零解
ki 是任意实数,所以如果考虑零解,则
Δx 由于零解的改变可任意改变,变得毫无意义。所以只考虑特解
xp 的改变量
Δxp 。
Δxp=δb1U/σ1v1+⋯+δbrU/σrvr
因为
σ1≥σ2≥⋯≥σr>0 ,所以当
Δxp 全部由分量
δbrU 造成的即
Δb=∥Δb∥ur ,则特解改变量最大,故
maxΔxp=δbrU/σrvr=urTΔb/σrvr=∥Δb∥/σrvr
这是特解最大绝对改变量,与最小奇异值成反比。更有意义的是特解相对改变量大小,根据特解
xp=b1U/σ1v1+⋯+brU/σrvr 当
b=∥b∥u1 ,特解最小
minxp=b1U/σ1v1=u1Tb/σ1v1=∥b∥/σ1v1
所以特解最大相对改变量为
max∥xp∥∥Δxp∥=∥b∥/σ1∥Δb∥/σr=σrσ1∥b∥∥Δb∥
得到如下结论:
1、特解最大相对改变量与
σrσ1≥1 成正比且大于
∥b∥∥Δb∥,即会放大误差。
2、取等号条件为:
b=∥b∥u1 和
Δb=∥Δb∥ur 。
3、所有奇异值
σi=σ 均相等时,有
maxxp∥∥Δxp∥=∥b∥∥Δb∥ 任何情况下都不会放大误差,特解最稳定。此时
A=UΣVT=σUEr′VT ,例如
A=σQ ,
Q 为正交矩阵,方程解最稳定。
为此定义如下概念
矩阵条件数 矩阵最大奇异值和最小奇异值之比,记为
condA=σrσ1 。
病态矩阵 矩阵条件数远大于
1 的矩阵,病态矩阵容易因为误差而导致解的不稳定。
矩阵条件数具有如下性质:
condA=condAT=condA+ ,
condATA=condAAT=(condA)2 。
同理可得特解最小相对改变量为
minxp∥∥Δxp∥=condA1∥b∥∥Δb∥
等号条件
b=∥b∥ur 和
Δb=∥Δb∥u1 。
病态矩阵很容易导致特解不稳定,但这只是必要条件不是充分条件,比如特解最小相对改变量小于
1 缩小了误差,与矩阵条件数成反比,条件数越大特解反而越稳定。所以不是病态矩阵都能导致特解不稳定,要看
b,Δb 在坐标系
U 中的位置。
如果
A 由于测量误差或计算舍入误差变为
A+ΔA ,则解也会变为
x+Δx ,此时有
(A+ΔA)(x+Δx)=b 减去
Ax=b 得
AΔx=−ΔA(x+Δx) 假设矩阵
A 可逆,两边左乘
A−1 取范数得
∥Δx∥=∥A−1ΔA(x+Δx)∥≤∥A−1∥∥ΔA∥∥x+Δx∥即∥x+Δx∥∥Δx∥≤∥A∥∥A−1∥∥A∥∥ΔA∥因为∥A∥∥A−1∥=σrσ1=condA所以∥x+Δx∥∥Δx∥≤condA∥A∥∥ΔA∥
得到类似结论,即病态矩阵很容易导致特解不稳定。