4.10 重要总结
读者应该知道数值
r
r
r 代表什么?就是矩阵
A
A
A 的秩!为什么呢?显然矩阵
P
A
Q
=
[
E
r
r
,
F
r
,
n
−
r
O
m
−
r
,
r
,
O
r
,
n
−
r
]
PAQ=\left[ \begin{matrix} E_{rr} , F_{r,n-r} \\ \mathbf{O}_{m-r,r},\mathbf{O}_{r,n-r} \end{matrix} \right]
P A Q = [ E r r , F r , n − r O m − r , r , O r , n − r ] 的行空间维度是
r
r
r ,因为后面
m
−
r
m-r
m − r 维分量都是
0
0
0 ,不能张开维度。列空间维度也是
r
r
r ,因为自由矩阵
F
F
F 能由单位矩阵
E
r
r
E_{rr}
E r r 表示。矩阵乘以可逆矩阵不改变矩阵的秩,所以
r
a
n
k
A
=
r
a
n
k
P
A
Q
=
r
rank A = rank PAQ = r
r a n k A = r a n k P A Q = r 。这也直接证明了行秩等于列秩
r
a
n
k
A
=
r
a
n
k
A
T
rank A = rank A^T
r a n k A = r a n k A T 。我们称
[
E
r
r
,
F
r
,
n
−
r
O
m
−
r
,
r
,
O
r
,
n
−
r
]
\left[ \begin{matrix} E_{rr} , F_{r,n-r} \\ \mathbf{O}_{m-r,r},\mathbf{O}_{r,n-r} \end{matrix} \right]
[ E r r , F r , n − r O m − r , r , O r , n − r ] 为矩阵标准型,这也给出矩阵的秩另一个定义。
定义 矩阵的秩 矩阵高斯约当消元为标准型时,单位阵的阶数为矩阵的秩。
定义 矩阵等价 如果存在可逆矩阵
P
,
Q
P,Q
P , Q ,使
P
A
Q
=
B
PAQ = B
P A Q = B ,则称矩阵
A
,
B
A,B
A , B 等价。
重要性质 矩阵等价时秩相等。
矩阵标准型还可以进一步化简为最简型,标准型进行列消元,把自由矩阵变换为零矩阵,即
P
A
Q
=
[
E
r
r
,
O
r
,
n
−
r
O
m
−
r
,
r
,
O
r
,
n
−
r
]
PAQ=\left[ \begin{matrix} E_{rr} , \mathbf{O}_{r,n-r} \\ \mathbf{O}_{m-r,r},\mathbf{O}_{r,n-r} \end{matrix} \right]
P A Q = [ E r r , O r , n − r O m − r , r , O r , n − r ] 。
标准型
P
A
Q
=
[
E
r
r
,
F
r
,
n
−
r
O
m
−
r
,
r
,
O
r
,
n
−
r
]
PAQ=\left[ \begin{matrix} E_{rr} , F_{r,n-r} \\ \mathbf{O}_{m-r,r},\mathbf{O}_{r,n-r} \end{matrix} \right]
P A Q = [ E r r , F r , n − r O m − r , r , O r , n − r ] 实际上可适用四种矩阵。
矩阵可逆时
r
=
m
=
n
r=m=n
r = m = n ,标准型为
P
A
=
[
E
r
r
]
PA=\left[ \begin{matrix} E_{rr} \end{matrix} \right]
P A = [ E r r ] ,只需进行行变换,故只需左乘矩阵。方程存在解且唯一解。
矩阵为列满秩时
r
=
n
<
m
r=n < m
r = n < m ,标准型为
P
A
=
[
E
r
r
O
m
−
r
,
r
]
PA=\left[ \begin{matrix} E_{rr} \\ \mathbf{O}_{m-r,r} \end{matrix} \right]
P A = [ E r r O m − r , r ] ,只需进行行变换,故只需左乘矩阵。方程如果存在解则唯一,否则无解。
矩阵为行满秩时
r
=
m
<
n
r=m < n
r = m < n ,标准型为
P
A
Q
=
[
E
r
r
,
F
r
,
n
−
r
]
PAQ=\left[ \begin{matrix} E_{rr} , F_{r,n-r} \end{matrix} \right]
P A Q = [ E r r , F r , n − r ] ,有可能需要进行列变换,故需右乘矩阵
Q
Q
Q 。方程存在解且无穷多。
矩阵为行列均不满秩时
r
<
m
i
n
(
m
,
n
)
r < min(m,n)
r < m i n ( m , n ) ,标准型为
P
A
Q
=
[
E
r
r
,
F
r
,
n
−
r
O
m
−
r
,
r
,
O
r
,
n
−
r
]
PAQ=\left[ \begin{matrix} E_{rr} , F_{r,n-r} \\ \mathbf{O}_{m-r,r},\mathbf{O}_{r,n-r} \end{matrix} \right]
P A Q = [ E r r , F r , n − r O m − r , r , O r , n − r ] ,有可能需要进行列变换,故需右乘矩阵
Q
Q
Q 。方程如果存在解则无穷多,否则无解。
高斯约当消元法可求得矩阵很多东西:矩阵的主元,矩阵的秩,矩阵的零空间,方程的解,列向量组的极大无关组,行向量组的极大无关组,可逆矩阵的逆矩阵,向量是否能被矩阵的向量组表示。