4.4 高斯消元法的矩阵表示
高斯消元法的原子操作为: 方程
j 乘以
−ai,j/ajj,i>j ,加到方程
i ,使
ai,j 为
0 ,令
lij=ai,j/ajj ,称该操作为消元操作,
lij 为乘子。矩阵
A 的任意列向量
ap=(a1p,a2p,⋯,aip,⋯,anp) 经过该操作后,变换为
ap′=(a1p,a2p,⋯,aip−lijajp,⋯,anp) ,只有第
i 分量加了个数,其它分量不变。消元操作把一个向量变换为另一个向量,是线性可逆变换,能用可逆矩阵表示,矩阵为
Eij=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡10⋮0⋮0001⋯00⋯⋯−lij⋯⋯00⋯1⋯00⋯⋯0⋯⋯⋯0⋯00⋯00⋯01⋯00⋯1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
定义 消元矩阵 矩阵
Eij 是单位矩阵
E 的
(i,j),i>j 元素为
−lij ,称为消元矩阵,
Eijap=ap′ ,是单位下三角阵。
第一阶段用矩阵乘法表示为
En1⋯E31E21A 。
第二阶段用矩阵乘法表示为
(En2⋯E42E32)(En1⋯E31E21)A 。
最终矩阵
A 经过一系列矩阵乘法变换为上三角阵,
(En,n−1)⋯(En2⋯E42E32)(En1⋯E31E21)A=U 。因为矩阵
Eij 可逆,故乘以对应逆矩阵得
A=(E21−1E31−1⋯En1−1)(E32−1E42−1⋯En2−1)⋯(En,n−1−1)U=LU 。矩阵
Eij 的逆矩阵
Eij−1 是单位矩阵
E 的
(i,j),i>j 元素为
lij ,经过计算可得矩阵
L 是单位矩阵
E 的任意
(i,j),i>j 元素为
lij ,对角线元素全为
1 ,
(i,j),i<j 元素为
0 ,是单位下三角阵,且对应位置保存了对应乘子
lij,i>j 。矩阵
A 可逆,则上三角阵
U 的对角线元素均不为
0 ,这两个条件是等价的。
定义 主元 上三角阵
U 的对角线元素称为矩阵
A 的主元。
重要性质 矩阵
A 的主元均不为
0 时,矩阵
A 可逆。
例如上面矩阵
A=⎣⎡24−249−3−2−37⎦⎤ 的主元为
2,1,4 ;
LU 分解为
A=⎣⎡12−1011001⎦⎤⎣⎡200410−214⎦⎤
LU 分解,不是很对称,因为
L 是单位下三角阵,
U 对角线是主元,不是
1 。我们可以继续对
U 进行分解,把主元提取出来,使
U 成为单位上三角阵。
U=⎣⎢⎢⎢⎡d10⋮00d2⋮0⋯⋯⋯00⋮dn⎦⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎡10⋮0u12/d11⋮0⋯⋯⋯u1n/d1u2n/d2⋮1⎦⎥⎥⎥⎤
重要性质 矩阵
LDU 分解 矩阵
A 分解为单位下三角矩阵、对角阵和单位上三角矩阵的乘积,
A=LDU ,
D 对角线元素为矩阵主元。
例如上面矩阵的
LDU 分解为
A=⎣⎡24−249−3−2−37⎦⎤=⎣⎡12−1011001⎦⎤⎣⎡200010004⎦⎤⎣⎡100210−111⎦⎤