SAM学习笔记

这辈子最。。。的就是山姆大叔。
SAM的主要作用就是把一个字符串的后缀放在了Trie上。

对于一个字符串 $"ababb"$，用最朴素的办法构造就是：

而如果用SAM：

简洁了不少啊。
那么这个强大的东西怎么做呢？

前置约定：
对于字符串 $u$， $|u|$表示它的长度。
对于一个字符集 $v$， $|v|$表示它的大小。

前置定义：
$S$：原串。
$s$：原串的字串。
$endpos(s)$：字串 $s$在原串 $S$中出现的位置的右端点的集合。
例如：
$S$= $"ababb"$， $s$= $"ab"$，那么 $endpos(s)$={2,4}。
$endpos$等价类： $endpos$相同的字串构成的集合。
$longest(v)$：等价类 $v$中最长的字符串。
$shortest(v)$：定义与之类似。

在介绍构造SAM之前，先介绍一些引理。

引理1：
设两个非空字串 $u$和 $v$，且 $|u|\le|v|$，当且仅当字串 $u$是字串 $v$的后缀。
正确性显然，这里不再证明。

引理2：
对于两个非空子串 $u$和 $v$（假设 $|u|\le|v|$）。那么要么 $endpos(v)⊆endpos(u)$，
要么 $endpos(u)⋂endpos(v)=∅$
正确性同样显然。。。

引理3：
对于一个 $endpos$的等价类，其包含的字符串的长度是连续的。
设这个等价类为 $v$，其中所包含的字符串一定是 $longest(v)$的后缀，于是显然引理3正确。

引理4：
等价类的个数级别是 $O(n)$的。
注意这个很重要。
设这个等价类为 $v$，那么在 $longest(v)$前添加一个字符，这个字符串一定不属于该等价类。且如果在 $longest(v)$前添加一个字符的 $endpos$与在 $longest(v)$前添加另一个字符是 $endpos$显然是不相交的（根据引理2）。
于是在 $longest(v)$前添加字符就相当于对这个字符串的 $endpos$进行分割。

而这样的分割次数不会超过等价类本身的大小，于是命题得正。

而这样 $endpos$的包含关系形成的树，我们把它叫做 $Parent Tree$（这玩意很重要呀呀呀，当时没搞懂，现在懂了其他一目了然）

补充定义： $fa_{v}$表示 $v$在 $Parent Tree$上的节点。

引理5：
对于一个等价类 $v$， $|longest(fa_{v})|=|shortest(v)|+1$。
根据引理5， $Parent Tree$的构造方式是在开头添加字符，于是此引理也十分的显然。

用 $LZC$ 的话来讲，就是——“毫无征兆的，我们发现SAM的节点可以和 $Parent Tree$的共用”。

就此，世界发生了翻天覆地的改变。

那么，如何构造SAM呢？
（这里要注意SAM的构造是一个在线的过程，一次在字符串后插入字符来改变SAM的形态）

再来一波定义~：设 $whole$表示在插入字符 $x$之前字符串对应的下标，设 $tot$表示字符串的个数。

$Step1$ ：
创建新的节点 $p$（这里SAM和 $ParentTree$已经合并，需留意），并令 $|longest(p)|=|longest(whole)|+1$。
$Step2$：
在 $ParentTree$上，从 $whole$ 往上走，如果走到的节点没有 $x$的出边就把此节点和 $p$连一条边。
$Step3$：
如果走到根了，都没有节点有 $x$的出边，那么令 $fa_{p}$为根。
$Step4$：
否则，设这个结点为 $cur$，其 $x$的边通向点 $q$。
$Step5$:
如果 $|longest(cur)+1|=|longest(q)|$，说明 $q$是新串的后缀。那么 $endpos(new)⊆endpos(q)$,令 $fa_{p}=q$。
$Step6$：
否则，新建节点 $nxt$,继承 $q$的所有边和 $fa_{q}$。
$Step7$：
令 $|longest(q)|=|longest(cur)|+1$, $fa_{p}=fa_{q}=nxt$。
$Step8$：
并且更新原本连 $x$边到 $q$的点，改为连向 $nxt$。
$Step9$：
更新 $whole$。

贴一个代码：

void push(int x)
{
    int cur = whole,p = whole = ++tot;
    sam[p].len = sam[cur].len + 1;
    for(;cur && !sam[cur].ch[x];cur = sam[cur].fa)
        sam[cur].ch[x] = p;
    if(!cur)
        sam[p].fa = 1;
    else
    {
        int q = sam[cur].ch[x];
        if(sam[cur].len + 1 == sam[q].len)
            sam[p].fa = q;
        else
        {
            int nxt = ++tot;
            sam[nxt] = sam[q],sam[nxt].len = sam[cur].len + 1,sam[p].fa = sam[q].fa = nxt;
            for(;cur && sam[cur].ch[x] == q;cur = sam[cur].fa)
                sam[cur].ch[x] = nxt;
        }
    }
}