本题确实是比较难想的,需要一定的数论思维能力:
首先因为 ,因此 是 的整数倍,所有质因子都大于 等价于和 互质。然后根据最大公因数的性质 ,大于 的数当且仅当模 与 互质才可以,问题转化为求 的 值
接下来是欧拉函数比较重要的性质:
- 若 是素数,有 ;否则
该性质的由来LRJ也已经解释
然后为什么乘 ,这里需要分块的思想,也就是我们求的是大于 的个数,但是有多少个这样的部分,也就是 ,笔者写到这里仍然有些疑惑,但是网上已经没有资料可查询了,就这样半懂不懂吧
代码
#include <bits/stdc++.h>
#include <unordered_map>
#include <unordered_set>
using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define ins insert
#define Vector Point
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define mkp(x,y) make_pair(x,y)
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof a);
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<double,double> pdd;
const double eps=1e-8;
const double pi=acos(-1.0);
const int inf=0x3f3f3f3f;
const double dinf=1e300;
const ll INF=1e18;
const int Mod=1e8+7;
const int maxn=1e7+10;
bool isprime[maxn];
ll phi[maxn];
void euler(){
memset(isprime,1,sizeof isprime);
isprime[0]=isprime[1]=0;
int m=sqrt(maxn+0.5);
for(int i=2;i<m;i++){
if(isprime[i]){
for(int j=i*i;j<maxn;j+=i) isprime[j]=0;
}
}
}
void init(){
phi[1]=phi[2]=1; //phi(1)=1完全是为了特判m=1的情况
for(int i=3;i<maxn;i++)
phi[i]=phi[i-1]*(isprime[i]?i-1:i)%Mod;
}
int main(){
//freopen("in.txt","r",stdin);
//freopen("out.txt","w",stdout);
ios_base::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
int n,m;
euler();
init();
while(cin>>n>>m && n){
ll ans=phi[m];
for(int i=m+1;i<=n;i++) ans=ans*i%Mod;
cout<<ans-1<<"\n";
}
return 0;
}