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海伦公式

一个边长为 $a,b,c$ 的三角形，其面积为：

$\sqrt{p (p-a) (p-b) (p-c)}$

其中 $p=\frac{a+b+c}{2}$.

高

求面积当然要从高入手，如图：

其中 $D$ 为垂足， $h$ 为高。设 $BD = x$，则 $DC = a - x$.

可以得到：

$\begin{cases} c^2 = x^2 + h^2 \\ b^2 = (a-x)^2 + h^2 \end{cases}$

勾股定理的应用

可得

$c^2 - x^2 = b^2 - (a-x)^2$

$c^2 - x^2 = b^2 - a^2 + 2ax - x^2$

$2ax = c^2 - b^2 + a^2$

$x=\frac{c^2 - b^2 + a^2}{2a}$

那么：

$h^2 = c^2 - x^2$

$= (c - \frac{c^2 - b^2 + a^2}{2a})(c + \frac{c^2 - b^2 + a^2}{2a})$

$= \frac{2ac-c^2+b^2-a^2}{2a} \cdot \frac{2ac+c^2-b^2+a^2}{2a}$

$= \frac{-[(a-c)^2 - b^2]}{2a} \cdot \frac{(a+c)^2-b^2}{2a}$

$= -\frac{(a-b-c)(a+b-c)(a+c-b)(a+b+c)}{4a^2}$

$= \frac{(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)(a+b+c)}{4a^2}$

则：

$h = \sqrt{\frac{(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)(a+b+c)}{4a^2}}$

$= \frac{1}{2a} \sqrt{(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)(a+b+c)}$

面积

$\therefore$

$S= \frac{ah}{2}$

$= \frac{1}{4} \sqrt{(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)(a+b+c)}$

$= \sqrt{\frac{1}{16}(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)(a+b+c)}$

令 $p=\frac{a+b+c}{2}$，则：

$\begin{cases} a+b-c = (a+b+c)-2c = 2p-2c = 2(p-c) \\ a+c-b = (a+b+c)-2b = 2p-2b = 2(p-b) \\ b+c-a = (a+b+c)-2a = 2p-2a = 2(p-a) \\ a+b+c = 2p \end{cases}$

$\therefore$

$S = \sqrt{\frac{1}{16}(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)(a+b+c)}$

$= \sqrt{\frac{1}{16} \cdot 2 (p-c) \cdot 2 (p-b) \cdot 2 (p-a) \cdot 2p}$

$= \sqrt{p (p-a) (p-b) (p-c)}$

得证。