A 系统的设计与校正问题

根据被控对象及其控制系统的要求，选择适当 的控制器及控制规律设计一个满足给定性能指 标的控制系统。
控制系统校正(补偿)：通过改变系统结构，或在系统中增加附加装置或元件对已有的系统（固有部分）进行再设计使之满足性能要求。
控制系统的设计本质上是寻找合适的校正装置
工程实践中常用的校正方法：串联校正、反馈校正、 前馈校正和复合校正。

A.a 控制系统的性能指标

系统的性能指标，按其类型可以分为：
(1) 时域性能指标，包括稳态性能指标和动态性能指标；
(2) 频域性能指标，包括开环频域指标和闭环频域指标；

1 时域性能指标
(1) 稳态指标
稳态误差 $e_{ss}$（由 $\frac{K}{s^v}$低频段决定）：与 系统型别、静态误差系数（ $K_pK_vK_a$ ）有关

(2) 动态性能指标
快速性：系统快速性越好，以下时间越短

• 上升时间 $t_r$
• 峰值时间 $t_p$
• 调整时间 $t_s$

平稳性：

• 最大超调量 $\sigma\%$

2. 频域性能指标
(1) 开环频域指标
快速性：

• 开环截止频率 $ω_c (rad/s)$ 与带宽成正相关。

平稳性：

• 相角裕量 $γ(°)$ ；
• 幅值裕量 $K_g$

(2) 闭环频域指标
一般应对闭环频率特性提出要求，例如给出闭环 频率特性曲线，并给出闭环频域指标如下：
平稳性：

• 谐振频率 $ω_r$
• 谐振峰值 $M_r$

快速性：

• 闭环带宽频率 $ω_b$与带宽0~ωb

实际系统中：
输入信号一般为低频信号（图中1）：带宽范围内，系统能较好地跟踪。
扰动信号一般为高频信号（图中2）

要求系统：
以一定精度跟踪输入信号
抑制干扰信号

2 系统带宽的选择
选择要求：既能以所需精度跟踪输入信号，又能拟制噪 声扰动信号。在控制系统实际运行中，输入信 号一般是低频信号，而噪声信号是高频信号。
如果输入信号的带宽为 $0\sim w_M$
则带宽频率： $w_b=(5\sim10)w_M$

3 校正方式

串联校正
反馈校正
前馈校正
复合校正

4 基本控制规律
PID (Proportional Integral Derivative )控制：对偏差信 号e(t)进行比例、积分和微分运算变换后形成的一种基本控制 规律。是控制工程中技术成熟、理论完善、应用最为广泛的一 种控制策略。

以串联校正为主
比例 $P$： $K_p$为比例系数
微分 $D$： $T_d$为微分时常数
积分 $I$： $T_i$为积分时常数

（1）P（比例）控制

$K_p>1$时，开环增益加大，稳态误差减小； 幅值穿越频率 $w_c$增大，过渡过程时间缩短；系统稳定程度变差。 原系统稳定裕量充分大时才采用 比例控制。

$K_p<1$时，对系统性能的 影响正好相反。

比例控制器实质是一 种增益可调的放大器

（2）PD（比例微分）控制

微分控制具有预测特性。
$T_d$ 就是微分控制作用超前于比例控制作用效果的时间间隔。

在低频段把信号幅值抬高 $20lgK_p$，转折频率后则把斜率增加20。

PD 控制器中的微分控制规律，能反应输入信号的变 化趋势，产生有效的早期修正信号，增加系统的阻尼。 串联校正时，相当于增加零点，可提高相角裕度(加入的相角是正的)。

（3）PI（比例积分）控制

由于存在积分控制，PI控制器具有记忆功能（前面的积分值对后面由影响）。

高频段的零变为常数。

增加一个积分环节，提高系统的稳态精度
一个开环零点弥补积分环节对系统稳定的 不利影响

由于 $\varphi_c(w)=tg^{-1}T)iw-90°<0$ ，导致引入PI控制 器后，系统的相位滞后增加，因此，若要通过 PI控制器改善系统的稳定性，必须有 $K_p< 1$， 以降低系统的幅值穿越频率。

通过引入积分控制作用以改善系统的稳态性能。 通过比例控制作用来调节积分作用所导致相角 滞后对系统的稳定性所带来的不利影响。

（4）PID（比例积分微分）控制

通常PID 控制器中 $w_i<w_d(即T_i>T_d)$

• 在低频段，PID控制器通过积分控制作用,改善了 系统的稳态性能；
• 在中频段，PID控制器通过微分控制作用,有效 地提高了系统的动态性能。
  
  

A.b 常用校正装置及其特性

• 有源校正网络
• 无源校正网络

用以上两种网络实现超前校正、滞后校正以及滞后超前校正。

1.无源超前校正
一般而言，当控制系统的开环增益增大到满足其静态 性能所要求的数值时，系统有可能不稳定，或者即使 能稳定，其动态性能一般也不会理想。在这种情况下， 需在系统的前向通路中增加超前校正装置，以实现在 开环增益不变的前题下，系统的动态性能亦能满足设 计的要求。

（传递函数求解）
假设该网络信号源的阻抗很小，可以忽略不计， 而输出负载的阻抗为无穷大，则其传递函数为

注：
（1）采用无源超前网络进行串联校正 时，整个系统的开环增益要下降 $\alpha$倍， 因此需要提高放大器增益加以补偿

此时的传递函数：

（2）超前网络的零极点分布

由于 $a>1$，
故超前网络的负实零点总是位于负实极点之右，两者之间的距离由常数 $a$决定。
可知改变 $a$和 $T$（即电路的参数 $R_1,R_2,C$）的数值，超前网络的零极点可在s平面的负实轴任意移动。
传递函数相角：

求导并令其为零，得到最大超前角频率：

故在最大超前角频率 $w_m$处，具有最大超前角 $\varphi_m$

$\varphi_m$刚好位于频率 $\frac{1}{aT}$与 $\frac{1}{T}$的几何中心。

$\frac{1}{aT}$与 $\frac{1}{T}$的几何中心为：

即几何中心为 $w_m$

分析：

但a不能取得太大(为了保证较高的信噪比),a一般不超过20 这种超前校正网络的最大相位超前角一般不大于65°， 如果需要大于65° 的相位超前角，则要在两个超前网络相串联来实现，并 在所串联的两个网络之间加一隔离放大器，以消除它们 之间的负载效应。

A.c 串联校正

频率法对系统进行校正的基本思路是：通过所加校 正装置，改变系统开环频率特性的形状，

即要求校正 后系统的开环频率特性具有如下特点：

串联超前校正（基于频率响应法）
基本原理: 利用超前校正网络的相位超前特性来增大系统 的相角裕量，以改善系统瞬态响应。为此，要求校正网络 最大的相位超前角出现在系统的截止频率（剪切频率）处。

用频率法对系统进行串联超前校正的一般步骤可归纳为：

串联超前校正有如下特点：

• 这种校正主要对未校正系统中频段进行校正，使校正后 中频段幅值的斜率为-20dB/dec，且有足够大的相角裕量。
• 超前校正会使系统瞬态响应的速度变快,校正后，截止频率变大，系统的频带变宽，瞬态响应速度变快；但系统抗高频噪 声的能力变差。对此，在校正装置设计时必须注意。*
• 超前校正一般虽能较有效地改善动态性能，但未校正系统 的相频特性在截止频率附近急剧下降时，若用单级超前校正网络去校正，收效不大。因为校正后系统的截止频率向高频段移动。在新的截止频率处，由于未校正系统的相角滞后量过大， 因而用单级的超前校正网络难于获得较大的相位裕量。

2.无源滞后网络

如果信号源的内部阻抗为零，负载阻抗 为无穷大，则滞后网络的传递函数为

采用无源滞后网络进行串联校正时，主 要利用其高频幅值衰减的特性，以降低系 统的开环截止频率，提高系统的相角裕度。 滞后网络怎么能提高系统的相角裕度呢？


串联滞后校正(基于频率响应法)

由于滞后校正网络具有低通滤波器的特性，因而当它与 系统的不可变部分串联相连时，会使系统开环频率特性的中 频和高频段增益降低和截止频率 $w_c$减小，从而有可能使系统获得足够大的相位裕度，它不影 响频率特性的低频段。由此可见，滞后校正在一定的条件 下，也能使系统同时满足动态和静态的要求。
不难看出，滞后校正的不足之处是：滞后校正网络的截止频率会减小，瞬态响应的速度要变慢；在截止频率 $w_c$处， 滞后校正网络会产生一定的相角滞后量。为了使这个滞后角尽可能地小，理论上总希望 $G_c(s)$ 两个转折频率 $w_1,w_2$比 $w_c$,越小越好，但还要考虑物理实现上的可行性.。

• 在系统响应速度要求不高而抑制噪声电平性能要求 较高的情况下，可考虑采用串联滞后校正
• 保持原有的已满足要求的动态性能不变，而用以提高 系统的开环增益，减小系统的稳态误差。

如果所研究的系统为单位反馈最小相位系统，则应用频 率法设计串联滞后校正网络的步骤如下：

串联超前校正和串联滞后校正方法的适用范围和特点
（1）超前校正是利用超前网络的相角超前特性对系统进行校正， 而滞后校正则是利用滞后网络的幅值在高频衰减特性；
（2）用频率法进行超前校正，旨在提高开环对数幅频渐进 线在截止频率处的斜率(-40dB/dec提高到-20dB/dec)，和 相位裕度，并增大系统的频带宽度。频带的变宽意味着 校正后的系统响应变快，调整时间缩短。
（3）对同一系统超前校正系统的频带宽度一般总大于滞后 校正系统，因此，如果要求校正后的系统具有宽的频带 和良好的瞬态响应，则采用超前校正。当噪声电平较高 时，显然频带越宽的系统抗噪声干扰的能力也越差。对 于这种情况，宜对系统采用滞后校正。
（4）超前校正需要增加一个附加的放大器，以补偿超前 校正网络对系统增益的衰减。
（5）滞后校正虽然能改善系统的静态精度，但它促使系 统的频带变窄，瞬态响应速度变慢。如果要求校正后 的系统既有快速的瞬态响应，又有高的静态精度，则 应采用滞后-超前校正。

有些应用方面，采用滞后校正可能得出时间常数大到不能实现的结果。

3.无源滞后-超前网络

滞后-超前校正装置的特性

串联滞后-超前校正
兼有滞后校正和超前校正的优点，即已校正系统响应速 度快，超调量小，抑制高频噪声的性能也较好。当未校正系 统不稳定，且对校正后的系统的动态和静态性能(响应速度、 相位裕度和稳态误差)均有较高要求时，显然，仅采用上述超 前校正或滞后校正，均难以达到预期的校正效果。此时宜采 用串联滞后-超前校正。
串联滞后-超前校正，实质上综合应用了滞后和超前校 正各自的特点，即利用校正装置的超前部分来增大系统 的相位裕度，以改善其动态性能；利用它的滞后部分来 改善系统的静态性能，两者分工明确，相辅相成。

串联滞后-超前校正的设计步骤如下：