前言

有时候，题目给我们的树的编号是没有规律的。

此时，我们需要变化节点的编号，才能完成一些询问。

比如，我们熟悉的 $dfs$序，它先将整棵树 $dfs$一遍，记录下每个节点的时间戳；我们熟悉的树剖，它用了一种特殊的方式遍历了整棵树，即，对于任何一个节点都先遍历它的重孩子。这两种算法的精髓在于，我们把一些编号不连续的需要被操作或询问的节点，转化为了一些编号连续的节点或分成了许多不同的段，其中每个段内都是编号连续的节点。

这篇文章， 将以上述算法精髓为起点，介绍一下其他的节点编号方法，希望能够给大家一些帮助！

bfs序

例题

给定一棵树，需要支持下面两种操作：

$1\ u\ d\ k$表示在以 $u$为根的子树中，所有深度为 $d$的点权全部加 $k$；

$2\ u\ d$表示在以 $u$为根的子树中，所有深度为 $d$的节点权值之和。

解法

读完本题后，可以发现 $dfs$序与树链剖分均不适用。我们考虑bfs序。

$bfs$序有一个重要的特点: 深度相同的一行的 $bfs$序连续。

于是，我们先对整棵树进行一次 $bfs$，对于一次形如 $1\ u\ d\ k$的操作，我们可以找到在以 $u$为根的子树中深度为 $d$的点的节点编号的左端点与右端点；此时我们操作或询问的是一段连续的区间，我们就可以使用线段树来维护啦。

但是，我们如何找到左端点 $l$与右端点 $r$呢？

显然， $[l,r]$区间内的数都是要被操作或询问的，其他的均不是。于是，我们直接二分查询 $l$与 $r$的值即可。更详细地解释一下求 $l$的值的步骤，我们对于该层所有节点进行二分，如果当前的 $mid$的祖先中有 $u$，或 $mid$的与 $u$深度相同的祖先在 $u$的右边，那么我们就向左找；否则向右找。求 $r$的方法同理。

注意，我们这里找 $mid$的祖先中与 $u$同深度的祖先，可以使用预处理+倍增来求出。

综上所述，我们使用二分套倍增得到了 $l,r$的值，接着使用线段树进行修改或查询即可。

总时间复杂度为 $O(nlogn+qlog^2n)$。

中序

例题

给定一棵满二叉树。定义 $s(i)$表示以 $i$为根的子树中节点的数量。对于每个满足以 $i$为根的子树是对称二叉树的 $i$，求出 $s(i)$的最大值。

$n≤10^7$

解法

如果我们直接深搜+减枝的话，时间复杂度为 $O(nlogn)$，无法通过本题。

可以发现，一棵二叉树对称，当且仅当这个二叉树的中序遍历是回文串。于是，我们可以找到原树的中序遍历，其中最长的一个回文串就是答案，显然可以用马拉车搞。

总时间复杂度 $O(n)$。