函数渐进增长

• 函数的渐进增长：给定两个函数g(n)和g(n),如果存在整数N使得对于所有n>N，总有f(n)比g(n)大，那么我们说f(n)的增长渐进快于g(n)
• 在渐进增长中，加法常数不影响最终的算法变化曲线
• 与最高次项相乘的常数也并不重要
• 最高次项指数大的，随着n的增长，结果也会增长的特别快
• 判断一个算法的效率时，函数中的常数和其他次要项常常可以忽略不计，重点关注最高阶项的阶数

时间复杂度

• T(n) = O(f(n))
• 语句总的执行次数T(n)关于输入规模n的函数
• 分析T(n)随n的变化情况并确定n的数量级
• 它表示随问题规模的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐进复杂度
• 大O记法：O()
• 一般情况下，随着n增大，T(n)增长最慢的算法为最优算法

推导大O阶的方法

• 用常数1取代运行时间中所有的加法常数
• 在修改后的运行次数中只保留最高阶项
• 如果最高项存在且不是1，则去除与最高项相乘的常数
• 得到的最后结果是大O阶

常数阶举例

• 多条打印语句，O(1)

线性阶

• 单层循环结构，O(n)

平方阶

• 嵌套循环结构，m层嵌套时间复杂度为O(n^m)

int i, j, n = 100;
for(i=0; i<n; i++){
    for(j=i; j<n; j++){
        printf("print something")
    }
}

以上算法的执行次数为n+(n-1)+(n-2)+…+1=n(n+1)/2
化简为n^{2/2+n/2得O(n}2)

对数阶

int i = 1, n = 100;
while(i < n){
    i = i * 2;
}

2^x = n, x=log(2)n(log以2为底的n)，这个循环的时间复杂度为O(logn)

函数调用的时间复杂度分析

• 与之前平方阶类似，主要关注被调用函数的时间复杂度

常用的时间复杂度

• 常数阶
  • O(1)
• 线性阶
  • O(n)
• 平方阶
  • O(n^2)
• 对数阶
  • O(logn)
• nlogn阶
  • O(nlogn)
• 立方阶
  • O(n^3)
• 指数阶
  • O(2^n)

常用的时间复杂度耗费的时间从小到大排序

O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n^2) < O(n^3) < O(2^n) < O(n!) < O(n^n)

最坏情况与平均情况

• 平均情况就是期望的运行时间
• 现实意义最大的是算法在最坏情况下的运行时间

空间复杂度

• S(n) = O(f(n))
  • n:问题输入规模
  • f(n):关于n占用的存储空间的函数

抽象数据类型（Abstract Data Type， ADT）

• 数据类型：一组性质相同的值的集合和定义在此集合上的一些操作
  • 原子类型：不可再分的基本类型
  • 结构类型：由若干类型组合而成，可以再分解的类型
• 抽象：是指取出事物具有普遍性的本质而忽略非本质的细节，是对具体事物的一个概括
• 抽象数据类型：
  • 指一个数学模型及定义在该模型上的一组操作
  • 抽象数据类型的定义仅取决于它的一组逻辑特性，而与其在计算机中如何表示和实现无关

  描述抽象数据类型的标准格式：

    ADT 抽象数据类型名
    Data
        数据元素之间逻辑关系的定义
    Operation
        操作
    endADT