题目
题解
又是一个简(e)单(xin)题,思路不难想,但是证明是真的难啊,不过yxc的视频讲解也是真的好啊。
我的思路是对于 r r r从小到大排序,然后对于防晒霜也从小到大排序,然后对于目前的防晒霜看看有没有区间包括它的,包括就选。(优先选 r r r小的)
当然,题解大量的思路都是 l l l递减,然后看看这个区间有没有防晒霜,有优先选 S P F SPF SPF值大的。
为什么是对的呢?(下面都按照大多数人的思想走)
一个比较形象的思路就是:由于 l l l递减, S P F SPF SPF越大的防晒霜在后面选择会越来越少,所以优先选大的,而且对于 x , y ( S P F [ x ] < S P F [ y ] ) x,y(SPF[x]<SPF[y]) x,y(SPF[x]<SPF[y])防晒霜而言,后面如果覆盖了 y y y号防晒霜那也肯定覆盖了 x x x号防晒霜,所以选 S P F SPF SPF最大的防晒霜是最优的。
那么严谨的证明是什么呢?
我们把问题化成二分图匹配的问题,然后证明我们这样子做没有增广路径就行了(不懂的看视频或者上网看),而对于 c o v e r [ i ] cover[i] cover[i],我们就认为有 c o v e r [ i ] cover[i] cover[i]个这样的点就行了。
c i c_i ci表示第 i i i头牛, s i s_i si表示第 i i i个防晒霜,那么如果存在增广路径的话,我们找到其中的一条最短的增广路径(注: a i a_i ai仅仅表示第 i i i个点的下标,并无实际意义):
s a 0 → c a 1 → s a 2 → . . . → c a k s_{a_{0}}→c_{a_{1}}→s_{a_{2}}→...→c_{a_k} sa0→ca1→sa2→...→cak
那么可以说明 c a 0 c_{a_{0}} ca0和 s a k s_{a_k} sak是没有匹配过的点。
考虑一下 S P F [ a 0 ] SPF[a_0] SPF[a0]和 S P F [ a 2 ] SPF[a_2] SPF[a2]的大小关系, c a 1 c_{a_1} ca1包括这两个防晒霜,根据算法大的优先,所以 S P F [ a 0 ] ≤ S P F [ a 2 ] SPF[a_0]≤SPF[a_2] SPF[a0]≤SPF[a2]。
接下来我们再来研究一下 a 1 a_1 a1和 a 3 a_3 a3的大小关系。
有没有可能 a 1 < a 3 a_1<a_3 a1<a3?
也就是说我们的 s a 2 s_{a_2} sa2跑去找了后面的牛。
由于的大优先,这样的话下面那个蓝色的防晒霜也就是 S P F [ a 4 ] SPF[a_4] SPF[a4]肯定也是大于 S P F [ a 0 ] SPF[a_0] SPF[a0],那这样子的话为什么不直接让 s a 0 s_{a_0} sa0去占 s a 4 s_{a_4} sa4的位置把 s a 4 s_{a_4} sa4弹出啊,这样还能少两个点: s a 2 s_{a_2} sa2和 c a 1 c_{a_1} ca1,这样就违反了我们最小增广路径的设定了。
所以 a 1 > a 3 a_1>a_3 a1>a3。
而后面的也可以像这样子无限推下去,知道 a k = 1 a_k=1 ak=1,等会! 1 1 1号牛没有匹配?可是 1 1 1号牛优先级最高啊,矛盾,所以不成立。
还有人问有没有可能是 c a 0 → s a 1 → c a 2 → . . . → s a k c_{a_{0}}→s_{a_{1}}→c_{a_{2}}→...→s_{a_k} ca0→sa1→ca2→...→sak这样子的最短增广路径呢,但是由于前面的优先级比后面的优先级高,所以 a 0 a_0 a0不可能小于 a 2 a_2 a2,所以 a 0 > a 2 a_0>a_2 a0>a2。抢完之后呢, c a 2 c_{a_2} ca2就十分的迷茫了,它要找那个防晒霜呢,假设找到了 x x x号防晒霜, S P F [ x ] < S P F [ a 2 ] SPF[x]<SPF[a_2] SPF[x]<SPF[a2],那么肯定是被是被 [ a 2 + 1 , a 0 − 1 ] [a_2+1,a_0-1] [a2+1,a0−1]的牛给匹配了(不然 a 0 a_0 a0就会匹配到 x x x),那么这样,我们我们可以直接让 c a 0 c_{a_0} ca0直接去抢 c a 4 c_{a_4} ca4的啊,这样还能少 a 1 a_1 a1和 a 2 a_2 a2呢,又违反了最短,而如果 S P F [ x ] ≥ S P F [ a 2 ] SPF[x]≥SPF[a_2] SPF[x]≥SPF[a2],确实可以成立,但是又跟上面第一个证明一样,这两条结论一成立,无限推下去知道找到 1 1 1号牛,矛盾。
所以是对的。
巧妙的把贪心化成二分匹配进行证明,妙啊。
当然我的思路其实是和它差不多的,所以也可以认为是对的。
代码
时间复杂度: O ( n 2 + m ) O(n^2+m) O(n2+m)。
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 3100
using namespace std;
struct node
{
int x,y;
}a[N],b[N];int n,m;
bool v[N];
inline bool cmp1(node x,node y){
return x.y==y.y?(x.x<y.x):(x.y<y.y);}
inline bool cmp2(node x,node y){
return x.x<y.x;}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y);
for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d%d",&b[i].x,&b[i].y);
sort(a+1,a+n+1,cmp1);
sort(b+1,b+m+1,cmp2);
int ans=0;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
for(int k=1;k<=b[i].y;k++)
{
bool bk=0;
for(int j=1;j<=n;j++)
{
if(!v[j] && a[j].x<=b[i].x && a[j].y>=b[i].x)
{
v[j]=1;
ans++;
bk=1;
break;
}
}
if(!bk)break;
}
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
最后
这里说一下,其实找到区间内的最小的数字或者找数字可以匹配的 r r r最小的区间编号是可以直接用权值线段树的,懒得打了,是可以优化到 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)。
当然也可以用https://www.acwing.com/solution/content/785/所用的二分法来找,也是 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)的。