全排列:
共n个球,取n个球,有多少种排列?
要从n个球中取n个球,可以想象有n个位置,一个位置放一个球。
第一个位置,有n种选择,然后第2个位置,剩n-1种选择,第3个位置,剩n-2种选择,…依次类推,第n个位置,只剩1种选择。
所以,n个位置共有
n *(n-1)*(n-2)*…* 1 = n!
种排列。
(ps:这里其实用到了分步计数乘法原理)
所以全排列公式:
A n n = n ! A_n^n = n! Ann=n!
非全排列:
共n个球,取m个球,有多少种排列?
要从n个球中取m个球,可以想象有m个位置,一个位置放一个球。
第一个位置,有n种选择,然后第2个位置,剩n-1种选择,第3个位置,剩n-2种选择,…依次类推,第m个位置,只剩n-m+1种选择。
所以,m个位置共有
n *(n-1)*(n-2)*…* (n-m+1)
= [ n *(n-1)*(n-2)*…* 1 ] / [ (n-m) * (n-m-1) * … * 1]
= n! / (n-m)!
种排列。
(ps:这里也用到了分步计数乘法原理)
所以非全排列公式:
A n m = n ! / ( n − m ) ! A_n^m = n!/(n-m)! Anm=n!/(n−m)!
组合:
共n个球,取m个球,有多少种组合?
n个球中取m个球的排列,可以看作:先从n个球中取m个球进行组合,然后再对每个组合进行全排列。
即:
A n m = C n m ∗ A m m A_n^m = C_n^m * A_m^m Anm=Cnm∗Amm
(ps:这里其实也用到了分步计数乘法原理)
所以组合公式:
C n m = A n m / A m m = A n m / m ! = [ n ! / ( n − m ) ! ] / m ! = n ! / [ m ! ∗ ( n − m ) ! ] C_n^m = A_n^m / A_m^m=A_n^m /m!= [n!/(n−m)!]/m!=n!/[m!*(n-m)!] Cnm=Anm/Amm=Anm/m!=[n!/(n−m)!]/m!=n!/[m!∗(n−m)!]