刷的题是张宇1000题

第1章 函数极限与连续

1.1 总结

1.求函数极限的5大规则：
1）极限的运算规则
2）夹逼
3）洛必达
4）归结
5）无穷小比阶

2.面对复杂的函数，从简入手

1.2 错题

1. A.8, P3
   

2. B7, P5
   

3. B8, P5
   
   你勾出来的是错误的选项，正确的做法是讨论x的取值，画出f(x)的图像，正确答案是D

4. B15(9), P5，正确答案是3/2
   
   错因：不能直接在加减里用等价无穷小，等价无穷小只能用在乘除法里。也即是说，只有当这个函数化成一个单独的分数函数后，才能用等价无穷下，比如下面这种：
   
   化成这样了才可以用等价无穷小

5. B15(5), P5:
   
   正确答案是e^-1/2
   错因：你在加减法里面做泰勒展开时展开的阶数太低了，或者保险一点的做法是先通分再用洛必达或者等价无穷小展开。

6. B21 + B22 + B23
   
   对应的错误点和盲区分别是：
   21:xⁿ+1在n趋于无穷时，在x取不同值时的取值（分|x|<1,|x|>1,|x|=1，共6种情况讨论）
   22：不同区段的函数的无定义点不是都可以取的
   23：e^nx在n趋于无穷时，在x取不同值时的取值（分x<0和x>0两种情况讨论）

7. C4(1)+(3)+(5)，P7
   
   对应的错因和误区分别是：
   1）e^af(x)的求导你会把a这个常系数漏掉，即你的是(e^af(x))’=e^af(x)f(x)’，正确的应该是ae^af(x)f(x)’
   3）加减的时候不能直接把x的极限值代入，具体分析可看下面这个错误做法：
   
   加减里面是不可以直接把无穷大带进去的，因为e^1/x只是趋近于1，并不是等于1，e^1/x和1之间有个小差值，这个差值再乘以前面的无穷大的x后就不一定是0了，所以加减时不可以直接把趋近值代进去，乘除时才可以，分以下两种情况讨论：

   i）小差值在分子，比如这样：
   (10000+0.01)/20000和10000/20000差不多，0.01/20000造成的误差可以忽略不计

   ii）小插值在分母，比如这样：
   20000/(10000+0.01)和20000/10000差不多，分母大个0.01造成的误差同样可以忽略不记

   5）和1）的错因一致

8. C9, P8
   
   k=1/a时有极限，其中a=5时极限为8/5；a>5时极限为0
   错因：x非0时，其0次方均为1，即使x是趋于0或者无穷

9. C9+C12，P8
   
   对应的错因为：
   9）：单调有界，即可说明该函数在该单调有界区间上连续
   12）：找函数的无定义点时，除了关注分母不能为0外，还需要关注特殊函数在某些点是不能取的，比如tanx，则x!=pai/2

第2章 数列极限

2.1 总结

1.证明数列存在极限的两个方法：
1）单调+有界
2）先斩后奏（可看1000题P9B5）

2.2 错题

1.P9B3：

错因分析：arctanx的泰勒展开式记错了，是正负；5个常用泰勒展开的三角函数里面，正正的只有tan和arcsin，正负的有sin+arctan+cos

2.P10C1：

错因分析：(1+x)^k~1+kx只有在k是常数时才成立，像这道题就不能用这种等价

3.P10C3：

错因分析：题目没有说可导，而且你也忘了怎么利用介值定理证明存在ε使得f(ε)=0（证明函数连续+两个边界值异号+根据介值定理可知存在一个ε使得f(ε)=0）

第三章、一元函数微分学的概念

3.1总结

从1000题的难度来看，这一章很简单，主要的难点是给出类似f(x+y)=XXX的抽象函数然后求f(x)，对于这种题目，统一列30讲P54的式1-4-2，然后把分子的f(x+Δx)用f(x+y)=XXXX换掉；另外就是要注意一些小细节，比如连乘形式的单独一个x、做变换时前面的负号有没有漏掉之类的，详见3.2中的3道错题

3.2错题

1.A7，P11

错因：看漏了中间的小x。
解决方法：涉及这种连乘的函数，应该一个一个地圈出来，防止看漏

2.B1+B6，P12：

B1：看漏题目所说的“在x=0处连续”
B6：一种题型，记住解法就行，感觉考察的是30讲中P54的式1-4-2

3.C2（2），P13：

错因：做变换时漏了前面的负号

第4章 一元函数微分学的计算

4.1 总结

主要是计算技巧，不同的技巧会有不同的题型，难度较大的是求f⁽ⁿ⁾(x)；另外就是对复合函数的乘积进行求导容易出错，或者说你对这种类型的求导不太熟悉

4.2 错题

1. C4+C6+C7，P16：
   
   4：三倍角公式的应用
   6+7：一种新题型，考的是高阶导里面的找规律+莱布尼茨结合；另外，求导的时候不要用等价无穷小，使原函数变成其它函数

2.B9+B10+B12+B14+B15，P15：

B9：复合函数的乘积的导数
B10：y作为函数的分子时，比如这样y/f(x)，如果对这个函数进行求导，你会忘了y是个函数，从而以为y是个和x一样的变量，于是y’=1，就错了。解决办法是只要涉及求导，就一直把y写作y(x)
B12：我觉得是宇哥没写清楚，或者默认就是要用x和y表示吧
B14：ln(0+y)=lny，而不是ln1。记住，加法中一个式子取0，不能求得整个式子的值
B15：一种题型和解法，复杂的（比如带根号+带分数的函数），求导应该用对数求导

第5章 一元函数微分学的应用（一）

5.1 总结

老问题就是计算错误和01混淆，然后重点就是求极限，补上的漏洞有
1.求斜渐进线（要分正无穷和负无穷去讨论）
2.分段函数在判断拐点上和连续函数有何不同（分段函数要考虑分段点处的二导负号变化）
3.累加形式的函数可以化成积分
4.可以用最值点结合夹逼定理求函数极限

5.2 错题（10道）

1.A3

错因：计算错误：-3/4+1/2被你算成1/4了

2.A7

错因：拐点处不一定需要有二阶导的定义，只需要保证两边二阶导变号就行

3.A13

错因：计算错误，2x·g(x)·2x=4x²g(x)，你漏了平方

4.B3

错因：偶函数换来换去你把导数的正负搞混了，和周期函数一样，对于这俩你现阶段还是好好写过程，比如列出不同区间下的x,y,f’(x)的取值

5.B10

错因：周期函数则是求出导数后，求切线时，你把点给搞错了，解决方法是先写公式，求出导数和y值后，再代进去

6.B14

错因：01混淆，解决方法就是求出表达式后在获得最终答案前加多一步，验算题干中的条件

7.C2

解析：看正负变化的拐点，除了看连续的部分，还要看分段函数的部分

8.C3：

解析：类似f(x)=xⁿ的函数，求n趋于无穷大时的值时，比如求x趋于无穷大时，f(g(n))的值，应该把g(n)带进去，把x换掉，然后当作纯n的极限来计算

9.C4：

解析：周期函数则是求出导数后，求切线时，你把点给搞错了，解决方法是先写公式，求出导数和y值后，再代进去

10.C7：

解析：求斜渐进线时，应该分正无穷和负无穷两种情况去讨论，虽然有时候两者是一样的，但是为了防止出错