一、二型线面积分三大公式的区别
公式名称 |
解决的对象 |
转化后的积分是什么 |
方向体现在什么地方 |
格林公式 |
平面上的二型曲线积分 |
二重积分 |
如果曲线的方向为负,那么转化成格林公式时要加负号 |
高斯公式 |
二型曲面积分 |
三重积分 |
如果曲面的方向不是指向该曲面所围成空间的外侧,那么取负号 |
斯托克斯公式 |
空间上的二型曲线积分 |
一型曲面积分 |
如果曲线所围成的曲面的法向量与z轴正向夹角大于90°,则cosγ的值取负 |
二、几种复杂积分的求解总结
积分 |
求解方法 |
二重积分 |
常规求解 |
三重积分 |
先一后二或者先二后一 |
一型曲线积分 |
化成一重积分再计算 |
一型曲面积分 |
化为二重积分再计算 |
二型曲线积分 |
格林公式(平面曲线)化成二重积分//一投二代(化成一重积分)三计算//斯托克斯公式(空间曲线)化成三重积分 |
二型曲面积分 |
拆解+投影+化成3个二重积分计算(这时候方向就体现在投影后dxdy,dydz,dzdx的正负符号上)//用高斯公式化成三重积分 |
总之就是,线面积分都是要化成一重二重三重积分才能算的,其中,,
线面积分 |
化成几重积分? |
一型+二型曲线积分 |
一重积分 |
一型曲面+二型曲线+二型曲面 |
二重 |
空间二型曲线+二型曲面 |
三重 |