求4点圆周卷积与线性卷积

一、 已知x1(n)=[2，4，3，1]，x2(n)=[2，1，3]，采用时域和频域两种方法分别求它俩的4点圆周卷积与线性卷积。

1. 时域方法

function y=cirshift(x,m,N)
 
if length(x)>N
    error('N length should >=x length')
end
x=[x zeros(1,N-length(x))];
n=[0:1:N-1];
n=mod(n-m,N);
y=x(n+1);

function y=circonvt(x1,x2,N)
if length(x1)>N
    error('N length should >=x1 length')
end
if length(x2)>N
    error('N length should >=x2 length')
end
x1=[x1 zeros(1,N-length(x1))];
x2=[x2 zeros(1,N-length(x2))];
m=[0:1:N-1];
x2=x2(mod(-m,N)+1);
H=zeros(N,N);
for n=1:1:N
    H(n,:)=cirshift(x2,n-1,N);
end
y=x1*H';

clc;
clear all
x1=[2 4 3 1];
x2=[2 1 3];
y=circonvt(x1,x2,4)

求得结果如下：

当N≥N1+N2-1时，由circonvt得到的结果就等于线性卷积结果，N=6，即：

2. 频域方法

N=4;
X1=fft(x1,N);
X2=fft(x2,N);
Y=X1.*X2;
y=ifft(Y,N)

求得结果同上。
当N≥N1+N2-1时，由circonvt得到的结果就等于线性卷积结果，N=6，结果相同。

DFT频率分辨率分析

现考虑如下序列：

(1) 取 ，共10点序列，求出该有限长序列的DFT，并画出x(n)和其DFT谱，分析并说明通过该幅度谱能否分辨出原序列中两个频率分量；

function [Xk]=dft(xn,N)
n=[0:1:N-1];
k=[0:1:N-1];
WN=exp(-j*2*pi/N);
nk=n'*k;
WNnk=WN.^nk;
Xk=xn*WNnk;

N1=10;
n1=0:N1-1;
k1=0:N1-1;
x1=cos(0.48*pi*n1)+cos(0.52*pi*n1);
y1=x1(1:1:10);
Xk1=dft(x1,10);
w=2*pi/10*k1;
subplot(2,1,1);
stem(n1,y1);
axis([0,10,-2.5,2.5]);
title('x(n),0<=n<=9');
subplot(2,1,2);
stem(k1,abs(Xk1));
title('幅度');

结果如图：

可以看到有四个点达到了最大值，但无法明显分辨出两个频率分量。
(2) 在(1)的基础上，对序列补充90个零点，构成长度为100的有限长序列，求出该有限长序列的DFT，并画出x(n)和其DFT谱，分析并说明通过该幅度谱能否分辨出原序列中两个频率分量；

figure;
N2=100;
n2=0:N2-1;
x2=[x1(1:1:10) zeros(1,90)];
Xk2=dft(x2,100);
k2=0:N2-1;
w2=2*pi/100*k2;
subplot(2,1,1);
stem(n2,x2);
axis([0,100,-2.5,2.5]);
title('补零');
subplot(2,1,2);
stem(w2/pi,abs(Xk2));
title('幅度');

结果如图;

截断函数频谱混叠没有改变，只提高了计算分辨率，没有提高物理分辨率，不可以分辨出两个频率分量。
(3) 对该序列x(n)，取100采样点，求出该有限长序列的DFT，并画出x(n)和其DFT谱，分析并说明通过该幅度谱能否分辨出原序列中两个频率分量，并结合(1)和(2)的结果进行分析。

figure;
N3=100;
n3=0:N3-1;
k3=0:N3-1;
x3=cos(0.48*pi*n3)+cos(0.52*pi*n3);
y3=x3(1:1:100);
Xk3=dft(x3,100);
w3=2*pi/10*k3;
subplot(2,1,1);
stem(n3,y3);
axis([0,100,-2.5,2.5]);
title('x(n) 100个采样点');
subplot(2,1,2);
stem(k3,abs(Xk3));
title('幅度');

结果如图：

总结：第三种情况截断函数加宽且为周期序列的整数倍，改变了频谱混叠作用，提高了物理分辨率，能正确分辨两个频率分量