正题
考虑求出下降幂多项式 F ( x ) F(x) F(x) 的点值生成函数,即 F ′ ( x ) = ∑ i = 0 F ( i ) i ! x i F'(x)=\sum_{i=0} \dfrac {F(i)} {i!} x^i F′(x)=∑i=0i!F(i)xi。
设 F i F_i Fi 表示 F ( x ) F(x) F(x) 中 x i x^i xi 的系数,那么有 F ( x ) = ∑ i = 0 F i x i ‾ F(x)=\sum_{i=0} F_i x^{\underline i} F(x)=∑i=0Fixi
推一推柿子:
F ′ ( x ) = ∑ i = 0 F ( i ) i ! x i = ∑ i = 0 x i i ! ∑ j = 0 F j i j ‾ = ∑ j = 0 F j ∑ i = 0 x i i ! i j ‾ F'(x)=\sum_{i=0} \frac {F(i)} {i!} x^i=\sum_{i=0} \frac {x^i} {i!} \sum_{j=0} F_j i^{\underline j}=\sum_{j=0} F_j \sum_{i=0} \frac {x^i} {i!} i^{\underline j} F′(x)=i=0∑i!F(i)xi=i=0∑i!xij=0∑Fjij=j=0∑Fji=0∑i!xiij
发现有一个性质:
∑ i = 0 i j ‾ i ! x i = ∑ i = 0 1 ( i − j ) ! x i = x j ∑ i = 0 x i i ! = x j e x \sum_{i=0} \frac {i^{\underline j}} {i!} x^i=\sum_{i=0} \frac 1 {(i-j)!}x^i=x^j\sum_{i=0} \frac {x^i} {i!}=x^j e^x i=0∑i!ijxi=i=0∑(i−j)!1xi=xji=0∑i!xi=xjex
带回去得到:
F ′ ( x ) = ∑ j = 0 F j x j e x = e x ∑ j = 0 F j x j F'(x)=\sum_{j=0} F_jx^je^x=e^x\sum_{j=0} F_jx^j F′(x)=j=0∑Fjxjex=exj=0∑Fjxj
也就是说,让 F ( x ) F(x) F(x) 卷上 e x e^x ex 就得到 F ′ ( x ) F'(x) F′(x) 了!
得到了 F ′ ( x ) F'(x) F′(x) 和 G ′ ( x ) G'(x) G′(x) 之后,就可以做点值乘法,然后逆运算,即乘以 e − x e^{-x} e−x 就是答案。
代码如下:
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define maxn 600010
#define mod 998244353
#define bin(x) (1<<(x))
int n,m,F[maxn],G[maxn];
int ksm(int x,int y){
int re=1;for(;(y&1?re=1ll*re*x%mod:0),y;y>>=1,x=1ll*x*x%mod);return re;}
int inv[maxn],w[maxn];void prep(int lg){
int N=bin(lg);
inv[1]=1;for(int i=2;i<=N;i++)inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
for(int i=1,wn;i<N;i<<=1){
w[i]=1;wn=ksm(3,(mod-1)/(i<<1));
for(int j=1;j<i;j++)w[i+j]=1ll*w[i+j-1]*wn%mod;
}
}
int limit,r[maxn];void work(int lg){
for(int i=1;i<bin(lg);i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lg-1));}
int add(int x){
return x>=mod?x-mod:x;}
int dec(int x){
return x<0?x+mod:x;}
void ntt(int *f,int lg,int type=0)
{
limit=bin(lg);if(type)reverse(f+1,f+limit);
for(int i=1;i<limit;i++)if(i<r[i])swap(f[i],f[r[i]]);
for(int mid=1,t;mid<limit;mid<<=1)for(int j=0;j<limit;j+=(mid<<1))for(int i=0;i<mid;i++)
{
t=1ll*f[j+i+mid]*w[mid+i]%mod;f[j+i+mid]=dec(f[j+i]-t);f[j+i]=add(f[j+i]+t);}
if(type)for(int i=0;i<limit;i++)f[i]=1ll*f[i]*inv[limit]%mod;
}
void NTT(int *f,int *g,int ln){
int lg=ceil(log2(ln));work(lg);ntt(f,lg);ntt(g,lg);
for(int i=0;i<bin(lg);i++)f[i]=1ll*f[i]*g[i]%mod;ntt(f,lg,1);
}
int fac[maxn],inv_fac[maxn];
void work(){
fac[0]=inv_fac[0]=1;for(int i=1;i<=maxn-10;i++)fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
inv_fac[maxn-10]=ksm(fac[maxn-10],mod-2);
for(int i=maxn-11;i>=1;i--)inv_fac[i]=1ll*inv_fac[i+1]*(i+1)%mod;
}
int EX[maxn],E_X[maxn];
void NTT_Des(int *f,int *g,int ln)
{
int lg=ceil(log2(ln<<1));
#define work_EX() memset(EX,0,4<<lg);for(int i=0;i<ln;i++)EX[i]=inv_fac[i]
work_EX();NTT(f,EX,ln<<1);work_EX();NTT(g,EX,ln<<1);
for(int i=0;i<bin(lg);i++)f[i]=i<ln?1ll*f[i]*g[i]%mod*fac[i]%mod:0;
for(int i=0;i<ln;i++)E_X[i]=(i&1?mod-inv_fac[i]:inv_fac[i]);NTT(f,E_X,ln<<1);
}
int main()
{
scanf("%d %d",&n,&m);n++;m++;
work();prep((int)ceil(log2((n+m)<<1)));
for(int i=0;i<n;i++)scanf("%d",&F[i]);
for(int i=0;i<m;i++)scanf("%d",&G[i]);
NTT_Des(F,G,n+m-1);
for(int i=0;i<n+m-1;i++)printf("%d ",F[i]);
}