模糊控制——WM算法
在现代智能控制算法中,模糊控制是在实际控制系统设计中使用比较成熟的一种方法。模糊控制可以使用在一些无法建立系统模型的场合,根据专家经验确定模糊规则,实现对系统的控制。
这里主要介绍一种基本的模糊控制算法,WM算法。该算法的思想是根据采样的数据对(一组输入、输出数据),确定出模糊规则,通常是一条数据对就可以确定一条规则。
首先我们需要确定系统的输入输出数量,假设系统为单输入单输出。对输入变量x,输出变量y分别划分模糊集合,可以使用正态分布隶属度函数,或者三角隶属度函数来划分。这叫做变量的模糊化。如x的论域为[0,2],划分13个模糊集合,分别为A1,A2,A3,...,A13,如下图:
对于输出y,论域为[-1.5,1.5],划分13个模糊集合,为B1,B2,B3,...,B13,如下图所示:
现在有0-2论域上均匀分布的样本点共21个,利用它们来确定模糊规则。
需要分别计算每一个数据点在模糊集合上的隶属度,选取最高的隶属度值作为确定一条模糊规则的依据。如样本点(0.2,1),需要计算0.2在输入隶属度函数中的隶属度值,需要计算13个值,找出其中最大的值如A5,则输入为A5;再计算输出1在13个模糊集合中的隶属度函数值,找出最大的那个,如B2,则输出为B2;由此可以确定一条模糊规则:IF x=A5 THEN y=B2;由此可以确定21个规则;但是这些规则有大量的重复和冲突的规则,需要计算它们置信度
conf=u(Ax)*u(By);
由此公式可以求出矛盾规则的置信度,把置信度低的规则去掉;按照WM算法的提出则王立新的做法,还应该乘上一个专家经验系数,也就是专家认为这条规则的可信度大不大。上面的公式改写为:
conf=u*u(Ax)*u(By);
由此可以建立模糊规则库;
上面表中的第一行代表输入x的隶属集合的下标,第二行代表输出y的隶属集合的下标。
利用模糊规则库,计算输出y;根据去模糊化公式:
即可计算输出。
选用函数
y=0.9*sin(PI*x)+0.3*cos(3*PI*x);
以下是在matlab中的仿真代码:
(1)计算输出变量y的隶属度函数
function u = u_y_B(y,a,left,right,step) %u_y_B % 计算输出变量y的隶属度函数值 %y:输出变量的值 %a:区间中点的值 %left:表示论域区间的左端点 %right:表示论域区间的右端点 %step:三角形底边长的一半 %论域为[-1.5,1.5],共有5个模糊区间:B1,B2,B3,B4,B5 b=a-step; c=a+step; len=length(y); u=zeros(1,len); for i=1:len if a==left+step if y(i)>=b&&y(i)<=a u(i)=1; end if y(i)>a&&y(i)<=c u(i)=(c-y(i))/(c-a); end if y(i)<b||y(i)>c u(i)=0; end elseif a==right-step if y(i)>=b&&y(i)<=a u(i)=(y(i)-b)/(a-b); end if y(i)>a&&y(i)<=c u(i)=1; end if y(i)<b||y(i)>c u(i)=0; end else if y(i)>=b&&y(i)<=a u(i)=(y(i)-b)/(a-b); end if y(i)>a&&y(i)<=c u(i)=(c-y(i))/(c-a); end if y(i)<b||y(i)>c u(i)=0; end end end end
(2)计算输入隶属度(输入模糊化)
function u=u_x_input(x) %计算任意一个输入在输入模糊区间A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7上各自的隶属度值 % x:输入值 % u:输出一个有隶属度组成的数组 a=0; u=zeros(1,10); for i=1:10 a=a+0.2; u(i)=u_x_A(x,a); end end
function u= u_x_A(x,a) %u_x_A % 计算输入变量x的隶属度函数值 %x:输入变量的值 %a:区间中点的值 %论域为[0,2],共有10个模糊区间A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8,A9,A10 len=length(x); u=zeros(1,len); b=a-0.2; c=a+0.2; for i=1:len if a==0.2 if x(i)>=b&&x(i)<=a u(i)=1; end if x(i)>a&&x(i)<=c u(i)=(c-x(i))/(c-a); end if x(i)<b||x(i)>c u(i)=0; end elseif a==1.8 if x(i)>=b&&x(i)<=a u(i)=(x(i)-b)/(a-b); end if x(i)>a&&x(i)<=c u(i)=1; end if x(i)<b||x(i)>c u(i)=0; end else if x(i)>=b&&x(i)<=a u(i)=(x(i)-b)/(a-b); end if x(i)>a&&x(i)<=c u(i)=(c-x(i))/(c-a); end if x(i)<b||x(i)>c u(i)=0; end end end end(3)WM算法实现脚本
clc; clear; PI=3.1415926; t=0:0.01:2; y=0.9*sin(PI*t)+0.3*cos(3*PI*t); plot(t,y);%原始图像 xlabel('输出值x'); ylabel('输入值y'); grid on; title('y=0.9*sin(PI*t)+0.3*cos(3*PI*t)'); %获取采样点,采样21组数据 sample_x=0:0.1:2; sample_y=0.9*sin(PI*sample_x)+0.3*cos(3*PI*sample_x); sample_num=length(sample_x);%采样个数 %论域x划分set_X个模糊区间,使用正态(高斯)形隶属函数,论域[0,2] set_X=13; xmin=0; xmax=2; x_step=(xmax-xmin)/(set_X-1);%x模糊集合的步长 av_x=xmin:x_step:xmax; %计算高斯分布均值 sigma_x=sqrt(-x_step^2/(8*log(0.5)));%计算高斯分布方差 %sigma_x=0.09; x=xmin:0.01:xmax; figure(2) for i=1:set_X plot(gaussmf(x,[sigma_x,av_x(i)]));%绘制x的模糊函数曲线 hold on; end legend('A1','A2','A3','A4','A5','A6','A7','A8','A9','A10','A11','A12','A13'); xlabel('输入值x'); ylabel('隶属度值u(x)'); set(gca,'XTick',0:50:250); set(gca,'XTickLabel',{'0','0.5','1.0','1.5','2','2.5'}); title('输入变量x的模糊区间划分以及隶属度'); %论域y划分set_Y模糊区间,使用三角隶属函数,论域[-1.5,1.5] figure(3) set_Y=13; ymin=-1.5;%论域下限 ymax=1.5; %论域上限 y_step=(ymax-ymin)/(set_Y+1);%三角形两个尖点之间的步长 a=ymin;%保存论域下限,方便后面的隶属度计算 y=ymin:0.01:ymax;%获取一组y的数值 for i=1:set_Y a=a+y_step; plot(u_y_B(y,a,ymin,ymax,y_step));%绘制y的模糊函数曲线 hold on; end legend('B1','B2','B3','B4','B5','B6','B7','B8','B9','B10','B11','B12','B13'); xlabel('输出值y'); ylabel('隶属度值u(y)'); set(gca,'XTick',0:50:350); set(gca,'XTickLabel',{'-1.5','-1.0','-0.5','0','0.5','1.0','1.5','2.0'}); title('输出变量y的模糊区间划分以及隶属度'); %WM算法 uxA=zeros(sample_num,set_X);%存储每条样本数据x的隶属度函数值 uyB=zeros(sample_num,set_Y);%存储每条样本数据y的隶属度函数值 for i=1:set_X uxA(:,i)=gaussmf(sample_x,[sigma_x,av_x(i)]);%sample_num个样本x的在第i个模糊区间中的隶属度值 end a=ymin; for j=1:set_Y a=a+y_step; uyB(:,j)=u_y_B(sample_y,a,ymin,ymax,y_step);%sample_num个样本y的在第j个模糊区间中的隶属度值 end WM_rule=zeros(3,sample_num);%保存每个样本数据所在的模糊集合的下标 [~,WM_rule(1,:)]=max(uxA,[],2);%计算每个样本x所在的模糊集合下标 [~,WM_rule(2,:)]=max(uyB,[],2);%计算每个样本y所在的模糊集合下标 for i=1:sample_num WM_rule(3,i)=uxA(i,WM_rule(1,i))*uyB(i,WM_rule(2,i)); %计算每条规则的支持度 end %对于属于x属于同一个模糊区间,输出却不同的规则,去除信任度低的规则 for i=2:sample_num if(WM_rule(1,i-1)==WM_rule(1,i)) if(WM_rule(3,i-1)<=WM_rule(3,i)) WM_rule(:,i-1)=0; else WM_rule(:,i)=0; end end end WM_rule(:,all(WM_rule==0,1))=[];%去除多于的规则(把每列全为0的删除) %WM算法的模糊规则库已经建立完成
p_value=zeros(1,set_Y);%用于保存y模糊函数尖点所对应的横坐标的值 a=ymin; for i=1:set_Y a=a+y_step; p_value(i)=a;%保存y模糊函数尖点所对应的横坐标的值 end %测试规则 x=0; y_x=zeros(1,201); WM_y_x=zeros(1,201); for i=1:201 x=x+0.01; ux=zeros(1,set_X); for m=1:set_X ux(m)=gaussmf(x,[sigma_x,av_x(m)]); end num=0; num1=0; den=0; for j=1:set_X num=num+p_value(B_index(j))*ux(j); num1=num1+p_value(WM_rule(2,j))*ux(j); den=den+ux(j); end y_x(i)=num/den; WM_y_x(i)=num1/den; end figure(4); x=0:0.01:2; plot(x,WM_y_x,'-.b');%画出WM算法的输出曲线 hold on; y=0.9*sin(PI*x)+0.3*cos(3*PI*x); plot(x,y,'-g'); %画出原始函数的曲线 xlabel('输入值x'); ylabel('输出值y'); title('使用WM、DM模糊控制算法的结果'); legend('WM算法输出曲线','原始输出曲线'); grid on;
仿真结果如下:
由上图可知:WM算法能够较好的拟合原始曲线。