题意:
给一个长度为 n n n的数组 a a a。试将其划分为两个严格上升子序列,并使其长度差最小
分析:
我们将点对 ( i , j ) (i,j) (i,j),当 i < j i < j i<j且 a i ⩾ a j a_i \geqslant a_j ai⩾aj时我们将两点连线,跑一遍二分图匹配,以得到的联通块跑分组背包
但我们会发现这样铁 T T T,所以我们继续加深思考 ( ( (以高度表示数的大小 ) ) ),对于满足条件的 i , j i,j i,j来说,它们之前的某个位置 k k k的性质 : : :无论 a k a_k ak的大小如何,始终都会和至少 i i i或 j j j的一个连线
这就启示我们只需要找到 i , j i,j i,j就好了,它们两个之间的区间必是一个连通块
而对于不同的联通块,我们会发现,前面的联通的最大值,一定会小于后面任意联通块的最小值,根据这个性质,我们就可以记录前缀最大值和后缀最小值,以此来确定每个区间的分界点
然后对于每个区间暴力判断是否合法
因为每个区间有且仅有一种合法的分配方案,所以我们对于每个区间同时记录一个 z i z_i zi表示该区间的数分成两个序列的长度差
设 f i , j f_{i,j} fi,j表示到第 i i i个联通块时两个序列长度差为 j j j, 0 / 1 0/1 0/1表示这种长度差是否可能,那么会有方程 : : :在这里插入代码片
f i , j = f i − 1 , ∣ j + z i ∣ ∣ f i − 1 , ∣ j − z i ∣ f_{i,j}=f_{i-1,|j+z_i|}\ |\ f_{i-1,|j-z_i|} fi,j=fi−1,∣j+zi∣ ∣ fi−1,∣j−zi∣
代码:
#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<map>
#include<cmath>
#define LL long long
using namespace std;
inline LL read() {
LL d=0,f=1;char s=getchar();
while(s<'0'||s>'9'){
if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
while(s>='0'&&s<='9'){
d=d*10+s-'0';s=getchar();}
return d*f;
}
int z[100005],mi[100005],ma[100005],a[100005];
int q[100005],cnt=0;
int f[2][200005];
int main()
{
int t=read();
while(t--)
{
cnt=0;
int n=read();
for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
for(int i=1;i<=n;i++) ma[i]=max(ma[i-1],a[i]);
mi[n+1]=2147483647; for(int i=n;i;i--) mi[i]=min(mi[i+1],a[i]);
cnt=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
if(ma[i]<=mi[i+1]) q[++cnt]=i;
int s1,s2,d1,d2;
int tf=0;
for(int i=1;i<=cnt;i++)
{
s1=0;s2=0;d1=0;d2=0;
for(int j=q[i-1]+1;j<=q[i];j++)
{
if(a[j]>s1) s1=a[j],d1++;
else if(a[j]>s2) s2=a[j],d2++;
else {
tf=1;break;}
}
if(tf) break;
z[i]=abs(d1-d2);
}
if(tf) {
printf("-1\n");continue;}
memset(f,0,sizeof(f));
f[0][0]=1;
for(int i=1;i<=cnt;i++)
for(int j=0;j<=n;j++)
f[i&1][j]=f[~i&1][abs(j-z[i])]|f[~i&1][abs(j+z[i])];
for(int i=0;i<=n;i++) if(f[cnt&1][i]) {
printf("%d\n",i);break;}
}
return 0;
}