Description
n , c < = 2 60 , k < = 20 n,c<=2^{60},k<=20 n,c<=260,k<=20
Solution
- 只考虑骑士的影响,骑士之间的贡献可以通过快速幂表示成两端相同与不同的贡献。
- 那么由于骑士数量很少,所以可以考虑子集卷积。
- 枚举一个骑士的集合要求它们在同一个阵营,并且其他骑士与这个集合不在同一个阵营,贡献可以轻松地算出,方便起见,可以用所有骑士边都不同的贡献作为初始贡献,集合内的骑士边的贡献为"相同"/“不同”。
- 那么问题就是子集卷积了。
- 为了避免算重,我们在每一个状态下记一个k次多项式,那么只有 S S S位置的 x ∣ S ∣ x^{|S|} x∣S∣的系数是有意义的,这样可以避免算重。
- 稍微暴力一点的做法就是先求出点值,分步自乘,贡献到全集位置,设乘 i i i次贡献到全集的答案为 a n s i ansi ansi,那么最后的答案就是 ∑ i = 1 k ( i c ) a n s i \sum_{i=1}^{k}(^c_i)ansi ∑i=1k(ic)ansi。
- 考虑单独计算每一个点值的乘一次,乘两次…乘上组合数对于全集的贡献。那么对于一个 S S S位置的多项式 F ( x ) F(x) F(x),贡献就是 ∑ i = 1 k ( i c ) F ( x ) i \sum_{i=1}^k(^c_i)F(x)^i ∑i=1k(ic)F(x)i,在 [ x n ] [x^n] [xn]下的系数等价于 ∑ i = 0 c ( i c ) F ( x ) i = ( F ( x ) + 1 ) c \sum_{i=0}^c(^c_i)F(x)^i=(F(x)+1)^c ∑i=0c(ic)F(x)i=(F(x)+1)c
- 需要多项式EXP和Ln才可以快速算,由于模数和常数的原因,可以考虑下面的 n 2 n^2 n2EXP,Ln.
- G ( x ) = e F ( x ) G(x)=e^{F(x)} G(x)=eF(x)
- G ′ ( x ) = e F ( x ) F ′ ( x ) G'(x)=e^{F(x)}F'(x) G′(x)=eF(x)F′(x)
- G ′ ( x ) x = G ( x ) F ′ ( x ) x G'(x)x=G(x)F'(x)x G′(x)x=G(x)F′(x)x
- 乘上 x x x相当于积分回去了,单独考虑n位
- n g n = ∑ i = 1 n i f i g n − i ng_n=\sum_{i=1}^nif_ig_{n-i} ngn=∑i=1nifign−i,递推即可。
- Ln即为逆运算,将上式化成以 f f f为主即可:
- n f n = n g n − ∑ i = 0 n − 1 i f i g n − i nf_n=ng_n-\sum_{i=0}^{n-1}if_ig_{n-i} nfn=ngn−∑i=0n−1ifign−i
- Exp之前的常数项为1。
- 时间复杂度 O ( 2 k k 2 ) O(2^kk^2) O(2kk2)
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define maxn 21
#define ll long long
#define mo 1000000007
using namespace std;
int n,i,j,k,a[maxn],bz[1<<maxn],I[1<<maxn];
ll m,c,v[maxn][2],F[1<<maxn],invv[maxn];
struct Id{
ll id; int i;} b[maxn];
int cmp(Id a,Id b){
return a.id<b.id;}
ll ksm(ll x,ll y){
ll s=1;
for(;y;y/=2,x=x*x%mo) if (y&1)
s=s*x%mo;
return s;
}
ll A[2],B[2][2];
void multi(ll n){
static ll a[2],b[2][2];
for(;n;n/=2){
if (n&1){
a[0]=a[1]=0;
for(int i=0;i<2;i++) for(int j=0;j<2;j++)
(a[j]+=A[i]*B[i][j])%=mo;
A[0]=a[0],A[1]=a[1];
}
memset(b,0,sizeof(b));
for(int i=0;i<2;i++) for(int j=0;j<2;j++) for(int k=0;k<2;k++)
(b[i][k]+=B[i][j]*B[j][k])%=mo;
memcpy(B,b,sizeof(b));
}
}
void getit(ll n,ll *v){
if (n==2) {
v[0]=1,v[1]=0;return;}
ll cc=c%mo;
A[0]=0,A[1]=1;
B[0][0]=cc-2,B[0][1]=1,B[1][0]=cc-1,B[1][1]=0;
multi(n-2),v[1]=A[0];
A[0]=1,A[1]=0;
B[0][0]=cc-2,B[0][1]=1,B[1][0]=cc-1,B[1][1]=0;
multi(n-2),v[0]=A[0];
}
ll G[1<<maxn][maxn],f[maxn],g[maxn],ans,inv[maxn]; int cnt[1<<maxn];
void dft(){
int N=1<<n;
for(int i=1;i<N;i<<=1) for(int j=0;j<N;j+=i<<1) for(int k=0;k<i;k++)
for(int t=0;t<=n;t++) G[j+k+i][t]+=G[j+k][t];
for(int i=0;i<N;i++) for(int j=0;j<=n;j++) G[i][j]%=mo;
ll cc=c%mo; inv[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++) inv[i]=ksm(i,mo-2);
for(int S=0;S<N;S++){
memcpy(g,G[S],sizeof(g)),g[0]++;
for(int i=1;i<=n;i++) {
f[i]=g[i]*i%mo;
for(int j=1;j<i;j++)
(f[i]-=j*f[j]%mo*g[i-j])%=mo;
f[i]=f[i]*inv[i]%mo;
}
for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=f[i]*cc%mo;
g[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++) {
g[i]=0;
for(int j=1;j<=i;j++)
(g[i]+=f[j]*j%mo*g[i-j])%=mo;
g[i]=g[i]*inv[i]%mo;
}
ans+=g[n]*(((n-cnt[S])&1)?-1:1);
}
}
int main(){
freopen("ceshi.in","r",stdin);
// freopen("chess.in","r",stdin);
// freopen("chess.out","w",stdout);
scanf("%lld%d%d%lld",&m,&n,&k,&c);
for(i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&b[i].id),b[i].i=i;
for(i=1;i<=n;i++) I[1<<i-1]=i;
sort(b+1,b+1+n,cmp);
for(i=1;i<=k;i++){
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
for(int xi=1;xi<=n;xi++) if (b[xi].i==x)
for(int yi=1;yi<=n;yi++) if (b[yi].i==y)
a[xi]|=1<<yi-1,a[yi]|=1<<xi-1;
}
ll mulv=1;
for(i=1;i<=n;i++){
getit((b[i%n+1].id+m-b[i].id+1)%m,v[i]),mulv=mulv*v[i][0]%mo;
invv[i]=ksm(v[i][0],mo-2);
}
bz[0]=1,F[0]=1;
for(int S=1;S<1<<n;S++){
int T=S^(S&-S); cnt[S]=cnt[T]+1;
bz[S]=bz[T]&((a[I[S&-S]]&T)==0);
if (bz[S]){
F[S]=F[T],j=I[S&-S];
for(i=1;i<=n;i++) if ((T>>i-1)&1){
if (i%n+1==j) F[S]=F[S]*v[i][1]%mo*invv[i]%mo;
if (j%n+1==i) F[S]=F[S]*v[j][1]%mo*invv[j]%mo;
}
} else F[S]=0;
G[S][cnt[S]]+=F[S];
}
dft();
printf("%lld\n",(ans%mo*mulv%mo+mo)%mo);
}