设M是给定的一个正整数,若满足 b ∣ ( a − b ) b|(a-b) b∣(a−b),则称a与b对模m同余。
记为 a ≡ b ( m o d m ) a≡b(mod m) a≡b(modm)
a ≡ b ( m ) a≡b(m) a≡b(m)
a = b + k m ( k ∈ Z ) a=b+km(k∈Z) a=b+km(k∈Z)
证明:由 a ≡ b ( m o d m ) a≡b(mod m) a≡b(modm)得到 m ∣ ( a − b ) m|(a-b) m∣(a−b)
a = m ∗ q 1 + r a=m*q1+r a=m∗q1+r
b = m ∗ q 2 + r b=m*q2+r b=m∗q2+r
a − b = m ( q 1 − q 2 ) a-b=m(q1-q2) a−b=m(q1−q2)
∵ q 1 q1 q1, q 2 q2 q2为整数
∴该结论显然成立
证明:由 m ∣ ( a − b ) m|(a-b) m∣(a−b)得到 a ≡ b ( m o d m ) a≡b(mod m) a≡b(modm)
a − b = ( q 1 − q 2 ) m a-b=(q1-q2)m a−b=(q1−q2)m
a − m ∗ q 1 = b − m q 2 a-m*q1=b-mq2 a−m∗q1=b−mq2
a = m ∗ q 1 + r a=m*q1+r a=m∗q1+r
b = m ∗ q 2 + r b=m*q2+r b=m∗q2+r
g c d ( a , b ) = ( a , b ) gcd(a,b)=(a,b) gcd(a,b)=(a,b)
l c m ( a , b ) = [ a , b ] lcm(a,b)=[a,b] lcm(a,b)=[a,b]
若a,b互质,则
( a , b ) = 1 (a,b)=1 (a,b)=1; [ a , b ] = a ∗ b [a,b]=a*b [a,b]=a∗b
五大性质:
- 自反性
a ≡ a ( m o d m ) a≡a(mod m) a≡a(modm) - 对称性
若 a ≡ b ( m o d m ) a≡b(mod m) a≡b(modm),则 b ≡ a ( m o d m ) b≡a(mod m) b≡a(modm) - 传递性
若 a ≡ b ( m o d m ) a≡b(mod m) a≡b(modm), b ≡ c ( m o d m ) b≡c(mod m) b≡c(modm),则 a ≡ c ( m o d m ) a≡c(mod m) a≡c(modm) - 同加性
若 a ≡ b ( m o d m ) a≡b(mod m) a≡b(modm),则 a + c ≡ b + c ( m o d m ) a+c≡b+c(mod m) a+c≡b+c(modm) - 同减性
若 a ≡ b ( m o d m ) a≡b(mod m) a≡b(modm),则 a − c ≡ b − c ( m o d m ) a-c≡b-c(mod m) a−c≡b−c(modm) - 同乘性
若 a ≡ b ( m o d m ) a≡b(mod m) a≡b(modm)则 a × c ≡ b × c ( m o d m ) a×c≡b×c(mod m) a×c≡b×c(modm) - 同除性
若 a ≡ b ( m o d m ) a≡b(mod m) a≡b(modm),且 c ∣ a c|a c∣a, c ∣ b c|b c∣b, ( c , m ) = 1 (c,m)=1 (c,m)=1,则 a / c ≡ b / c ( m o d m ) a/c≡b/c(mod m) a/c≡b/c(modm) - 同幂性
若 a ≡ b ( m o d m ) a≡b(mod m) a≡b(modm), c > 0 c>0 c>0,则 a c ≡ b c ( m o d m ) a^c≡b^c(mod m) ac≡bc(modm) - 若 a % p = x a\%p=x a%p=x, a % q = x a\%q=x a%q=x, ( p , q ) = 1 (p,q)=1 (p,q)=1,则 a % ( p ∗ q ) = x a\%(p*q)=x a%(p∗q)=x