笔记（同余重要结论）

设M是给定的一个正整数，若满足 $b ∣ (a - b)$ ，则称a与b对模m同余。
记为 $a \equiv b (m o d m)$

$a \equiv b (m)$

$a = b + k m (k \in Z)$

证明：由 $a \equiv b (m o d m)$ 得到 $m ∣ (a - b)$

$a = m * q 1 + r$

$b = m * q 2 + r$

$a - b = m (q 1 - q 2)$

∵ $q 1$ , $q 2$ 为整数

∴该结论显然成立

证明：由 $m ∣ (a - b)$ 得到 $a \equiv b (m o d m)$

$a - b = (q 1 - q 2) m$

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$a - m * q 1 = b - m q 2$

$a = m * q 1 + r$

$b = m * q 2 + r$

$g c d (a, b) = (a, b)$

$l c m (a, b) = [a, b]$

若a,b互质，则

$(a, b) = 1$ ； $[a, b] = a * b$

五大性质：

自反性
$a \equiv a (m o d m)$
对称性
若 $a \equiv b (m o d m)$ ,则 $b \equiv a (m o d m)$
传递性
若 $a \equiv b (m o d m)$ , $b \equiv c (m o d m)$ ,则 $a \equiv c (m o d m)$
同加性
若 $a \equiv b (m o d m)$ ,则 $a + c \equiv b + c (m o d m)$
同减性
若 $a \equiv b (m o d m)$ ,则 $a - c \equiv b - c (m o d m)$
同乘性
若 $a \equiv b (m o d m)$ 则 $a \times c \equiv b \times c (m o d m)$
同除性
若 $a \equiv b (m o d m)$ ,且 $c ∣ a$ , $c ∣ b$ , $(c, m) = 1$ ,则 $a / c \equiv b / c (m o d m)$
同幂性
若 $a \equiv b (m o d m)$ , $c > 0$ ,则 $a^c≡b^c(mod m)$
若 $a\%p=x$ , $a\%q=x$ , $(p, q) = 1$ ,则 $a\%(p*q)=x$