各种线段树总结(全部以求最大为例)
线段树,用于查询区间的一些特定值(如:最大、最小、平均数),支持新建、修改和查询操作,空间要开4倍,注意在新建时要初始化
1、新建
void build(int l,int r,int x)
{
tree[x]={
l,r,0};//在这里不初始化也行,因为已经默认为0了
if(l==r)
return;
int mid=l+r>>1;
build(l,mid,x<<1);
build(mid+1,r,x<<1|1);
}
2、修改
void modify(int x,int u,int v)
{
if(tree[x].l==u&&tree[x].r==u)//是那个点
{
tree[x].v=v;
return;
}
int mid=tree[x].l+tree[x].r>>1;
if(u<=mid)
modify(x<<1,u,v);//那个点在左边
else
modify(x<<1|1,u,v);//反之
tree[x].v=max(tree[x<<1].v,tree[x<<1|1].v);//上传
}
3、查询
int query(int x,int l,int r)
{
if(tree[x].l>=l&&tree[x].r<=r)//在区间内
return tree[x].v;
int mid=tree[x].l+tree[x].r>>1,sum=0;
if(l<=mid)
sum=query(x<<1,l,r);
if(r>mid)
sum=max(sum,query(x<<1|1,l,r));//统计左右答案
return sum;
}
线段树变形
1、区间修改
其实,如果修改的区间已经包含在当前区间里面,就对整个区间修改,并对让下面进行标记,若递归到了,就修改
void pushdown(int x)
{
tree[x<<1].add+=tree[x].add;
tree[x<<1|1].add+=tree[x].add;//下传
tree[x<<1].sum+=(tree[x<<1].r-tree[x<<1|1].l+1)*tree[x].add;
tree[x<<1|1].sum+=(tree[x<<1|1].r-tree[x<<1|1|1].l+1)*tree[x].add;//更新值
}
void modify(int x,int l,int r,int v)
{
if(tree[x].l>=l&&tree[x].r<=r)
{
tree[x].v+=(tr[x].r-tr[x].l+1)*v;
tree[x].add+=v;//标记
return;
}
pushdown(x);//下传
int mid=tr[x].l+tr[x].r>>1;
if(l<=mid)
modify(x<<1,l,r,v);
if(r>mid)
modify(x<<1|1,l,r,v);
tree[x].v=max(tree[x<<1].v,tree[x<<1|1].v);
}
int query(int x,int l,int r)
{
if(tree[x].l>=l&&tree[x].r<=r)
return tree[x].v;
pushdown(x);//下传
int mid=tree[x].l+tree[x].r>>1,sum=0;
if(l<=mid)
sum=query(x<<1,l,r);
if(r>mid)
sum=max(sum,query(x<<1|1,l,r));
return sum;
}
2、权值线段树
权值线段树,统计的是每个数的个数,相当于一个“桶”。通常解决第k小(大)的问题。支持插入操作。
void modify(int x,int k,int cnt)
{
tree[x].v+=cnt;//每一个递归到的都结点都会加cnt
if(tree[x].l==k&&tree[x].r==k)
return;
int mid=tree[x].l+tree[x].r>>1;
if(k<=mid)
modify(x<<1,k,cnt);
else
modify(x<<1|1,k,cnt);
}
int findk(int x,int k)//这里以求k小为例
{
if(tree[x].l==tree[x].r)
return tree[x].l;
int mid=tree[x].l+tree[x].r>>1;
if(tree[x<<1].v>=k)//在左子树中
return findk(x<<1,k);
else
return findk(x<<1|1,k-tree[x<<1].v);//减去左子树的个数
}
3、动态开点线段树
动态开点,实际把左右设置成一个非固定的值就行了。当新来一个点时,申请一个新的点,省下了内存。
void modify(int &x,int u,int v,int l,int r)
{
if(!tree[x].num)
tree[x].num=x=++cnt;//一个新的点
if(l==u&&r==u)
{
tree[x].v=v;
return;
}
int mid=l+r>>1;
if(u<=mid)
modify(tree[x].l,u,v,l,mid);
else
modify(tree[x].r,u,v,mid+1,r);
tree[x].v=max(tree[tree[x].l].v,tree[tree[x].r].v);
}
当然,也可以结合区间修改
4、线段树合并
线段树合并,可以把两个线段树的数据汇总,变成一个线段树。但空间复杂度普遍偏高
int merge(int x,int y)
{
if(!x||!y)
return x+y;//两个相加,得到的是有数的那个数,如果都没有就是0
int u=++cnt;//开新结点
tree[u].v=tree[x].v+tree[y].v;//合并一个都有数的点
tree[u].l=merge(tree[x].l,tree[y].l);
tree[u].r=merge(tree[x].r,tree[y].r);//两个树同位置结点
return u;
}
5、可持久化线段树
可持久化线段树,就是能保存以前有的线段树的版本的线段树。
void modefy(int x,int l,int r,int u,int v)
{
++cnt;//新点
if(l==r)
{
tr[cnt].v=v;
return cnt;
}
int mid=l+r>>1,temp=cnt;
if(u<=mid)
{
tr[cnt].rson=tr[x].rson;//没变化,直接连边
tr[cnt].lson=modefy(tr[x].lson,l,mid,u,v);//有变化,开新点
}
else
{
tr[cnt].lson=tr[x].lson;//没变化,直接连边
tr[cnt].rson=modefy(tr[x].rson,mid+1,r,u,v);//有变化,开新点
}
return temp;
}