Title： 随机过程

1. 随机过程的基本概念

测试结果的每一个记录，即图中的每一个波形，都是一个确定时间函数$x_i(t)$，它称为样本函数或随机过程的一次实现。全部样本函数构成的总体就是一个随机过程，记作$\xi (t)$。简言之，随机过程是所有样本函数的集合（assemble）。

又可以把随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。

1.1. 随机变量的分布函数

1.2. 随机变量的数字特征

1.2.1. 均值（数学期望）

$$E[\xi (t)]={\int }_{-\infty }^{\infty }xf(x,t)dx$$

1.2.2. 方差

它表示随机过程在时刻$t$相对于均值$a(t)$的偏离程度。
D [ ξ ( t ) ] = E { [ ξ ( t ) − a ( t ) ] 2 } D[\xi(t)]=E\{[\xi(t)-a(t)]^2\} D[ξ(t)]=E{ [ξ(t)−a(t)]2}

1.2.3. 相关函数

2. 平稳随机过程

2.1. 定义

若一个随机过程$\xi (t)$的统计特性与时间起点无关，即时间平移不影响其任何统计特性，则称该随机过程是在严格意义下是平稳随机过程，简称严平稳随机过程。

2.2. 各态历经性

含义： 随机过程中的任一次实现都经理了随机过程的所有可能状态。因此，关于各态历经性的一个直接结论是，在求解各种统计平均（均值或自相关函数等）时，无需作无限多次的考察，只要获得一次考察，用一次实现的“时间平均”值代替过程的“统计平均”值即可，从而使测量和计算的问题大为简化。

注意，具有各态历经性的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立。

2.3. 平稳过程的自相关函数

设$\xi (t)$为实平稳随机过程，则它的自相关函数为：
$$R(\tau )=E[\xi (t)\xi (t+\tau )]$$

具有如下主要性质：

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1. $R(0)=E[{\xi }^2(t)]$，表示$\xi (t)$的平均功率。
2. $R(\tau )=R(-\tau )$，表示$\tau$的偶函数。
3. $|R(\tau )|\le R(0)$，表示$R(\tau )$的上界。即自相关函数$R(\tau )$在$\tau =0$有最大值。
4. $R(\infty )=E^2[\xi (t)]=a^2$，表示$\xi (t)$的直流功率。这是因为$$\underset{\tau \to \infty }{\lim }R(\tau )=\underset{\tau \to \infty }{\lim }E[\xi (t)\xi (t+\tau )]=E[{\xi }^2(t)]$$上式利用了$\tau \to \infty$时，$\xi (t)$与$\xi (t+\tau )$没有任何依赖关系，即统计独立。
5. $R(0)-R(\infty )={\sigma }^2$。${\sigma }^2$是方差，表示平稳过程$\xi (t)$的交流功率。当均值为$0$时，有$R(0)={\sigma }^2$。

2.4. 平稳过程的功率谱密度

任意确定功率信号$x(t)$，它的功率谱密度定义为：

$$P_x(f)=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{|X_T(f){|}^2}{T}$$

过程的功率谱密度应该看作是对所有样本的功率谱密度的统计平均，即$$P_{\xi }(f)=E[P_x(f)]=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{E|X_T(f){|}^2}{T}$$

3. 高斯随机过程

3.1. 定义

如果随机过程$\xi (t)$的任意$n$维$(n=1,2,\cdots )$分布均服从正态分布，则称它为正态过程或高斯过程。

3.2. 重要性质

1. 对于高斯分布，只需要研究它的数字特征就行了。
2. 广义平稳的高斯过程也是严平稳的。
3. 如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，那么它们也是统计独立的。
4. 高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程，

3.3. 高斯随机变量

4. 平稳随机过程通过线性系统

4.1. 输出过程${\xi }_o(t)$的均值

$$E[{\xi }_o(t)]=a\cdot {\int }_{-\infty }^{\infty }h(\tau )\mathrm{d}\tau =\mathrm{a}\cdot \mathrm{H}(0)$$

4.2. 输出过程${\xi }_o(t)$的自相关函数

$$R_o(t_1,t_1+\tau )=R_o(\tau )$$

上式表明，输出过程的自相关函数仅仅是时间间隔$\tau$的函数。也可知：若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平稳的。

4.3. 输出过程${\xi }_o(y)$的功率谱密度

$$P_o(f)=H^{\ast }(f)\cdot H(f)\cdot P_i(f)=|H(f){|}^2{P}_i(f)$$

结论： 输出过程的功率谱密度是输入过程的功率谱密度乘以系统频率响应模值的平方。

4.4. 输出过程${\xi }_o(t)$的概率分布

如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。

5. 窄带随机过程

5.1. 定义

若随机过程$\xi (t)$的谱密度基中在中心频率$f_c$附近相对窄的频带范围$\Delta f$内，即满足$\Delta f\ll f_c$条件，且$f_c$远离零频率，则称该$\xi (t)$为窄带随机过程。

6. 正弦波和窄带高斯噪声

7. 高斯白噪声和带限白噪声

7.1. 白噪声

如果噪声的功率谱密度在所有频率上均为一常数，即

$$P_n(f)=\frac{n_0}{2}(-\infty <f<+\infty )(W/Hz)$$

或：

$$P_n(f)=n_0(0<f<+\infty )(W/Hz)$$

式中：$n_0$为正常数，则称该噪声为白噪声，用$n(t)$表示。

7.2. 低通白噪声

$$P_n(f)=\{\begin{array}{rl}\frac{n_0}{2}& |f|\le f_H\\ 0& \text{其他}\end{array}$$

7.3. 带通白噪声

$$P_n(f)=\{\begin{array}{rl}\frac{n_0}{2},& f_c-\frac{B}{2}\le |f|\le f_c+\frac{B}{2}\\ 0,& \text{其他}\end{array}$$