一、推导步骤
已知一元二次方程 a x 2 + b x + c = 0 ( a ≠ 0 , b 2 − 4 a c ≥ 0 ) ax^2 + bx + c = 0(a\neq0,b^2-4ac\geq0) ax2+bx+c=0(a=0,b2−4ac≥0)，求方程的两实根。初中时，我们学了一种求解一元二次方程根的方法——配方法，这里不再赘述。今天，讲解一种极简新解法，该方法是美国奥数总教头、卡耐基梅隆数学大学教授罗博深（Po-Shen Loh）于2019年12月16日发表的一篇论文(A Simple Proof of the Quadratic Formula)里采用的方法。
对于一元二次方程 a x 2 + b x + c = 0 ( a ≠ 0 , b 2 − 4 a c ≥ 0 ) ax^2 + bx + c = 0(a\neq0,b^2-4ac\geq0) ax2+bx+c=0(a=0,b2−4ac≥0)，我们可以将二次项系数化为1得：
x 2 + B x + C = 0 (1) x^2 + Bx + C = 0 \tag 1 x2+Bx+C=0(1)
其中， B = b / a , C = c / a B=b/a,C=c/a B=b/a,C=c/a
设 R , S R,S R,S为方程(1)的两实根，则方程左边可因数分解为：
x 2 + B x + C = ( x − R ) ( x − S ) (2) x^2 + Bx + C = (x-R)(x-S) \tag 2 x2+Bx+C=(x−R)(x−S)(2)
由于：
( x − R ) ( x − S ) = x 2 − ( R + S ) x + R S (3) (x-R)(x-S)=x^2-(R+S)x+RS \tag 3 (x−R)(x−S)=x2−(R+S)x+RS(3)
故有：(其实就是韦达定理)
R + S = − B (4) R+S=-B \tag 4 R+S=−B(4)
R S = C (5) RS=C \tag 5 RS=C(5)
由于 R + S = − B R+S=-B R+S=−B，故有：(关键所在)
{ R = − B / 2 + z S = − B / 2 − z (6) \begin{cases} R=-B/2+z \\ S = -B/2 - z \\ \tag 6 \end{cases} {
R=−B/2+zS=−B/2−z(6)
根据式(5)和式(6)，得：
R S = ( − B / 2 − z ) ( − B / 2 + z ) = C (7) RS= (-B/2 - z) (-B/2+z)=C\tag 7 RS=(−B/2−z)(−B/2+z)=C(7)
可解得：
z = ± B 2 / 4 − C (8) z=\pm\sqrt{B^2/4-C}\tag 8 z=±B2/4−C(8)
根据式(6)和式(8)，方程(1)的两个实根为：
x = − B / 2 ± B 2 / 4 − C (9) x=-B/2\pm\sqrt{B^2/4-C}\tag 9 x=−B/2±B2/4−C(9)
将 B = b / a , C = c / a B=b/a,C=c/a B=b/a,C=c/a代入上式，整理可得一元二次方程 a x 2 + b x + c = 0 ( a ≠ 0 ) ax^2 + bx + c = 0(a\neq0) ax2+bx+c=0(a=0)的两实根：
x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a (10) x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \tag {10} x=2a−b±b2−4ac(10)
二、总结
罗教授的方法的本质上是韦达定理。亮点在于：根据方程两个实根之和满足关系 R + S = − B R+S=-B R+S=−B，引入任意未知量 z z z，并将 R R R和 S S S分别写成 R = − B / 2 + z R=-B/2+z R=−B/2+z和 S = − B / 2 − z S = -B/2 - z S=−B/2−z，再根据方程两个实根之积满足关系 R S = C RS=C RS=C，解得 z z z。相比配方法，该方法更加巧妙，更加容易理解，可以很快推导得出。
三、参考文献
A Simple Proof of the Quadratic Formula. Po-Shen Loh