图
图的基本介绍和存储形式
图基本介绍:
为什么要有图?
前面我们学了线性表和树,线性表局限于一个直接前驱和一个直接后继的关系,树也只能有一个直接前驱也就是父节点。当我们需要表示多对多的关系时,这里我们就用到了图。
- 图是一种数据结构,其中结点可以具有零个或多个相邻元素。两个结点之间的连接称为边。 结点也可以称为顶点。如图:
- 图的常用概念:
1.顶点(vertex)
2.边(edge)
3.路径:比如从 D -> C 的路径有D->B->C、D->A->B->C.
4.无向图(上图):顶点之间的连接没有方向,比如A-B,即可以是 A-> B 也可以 B->A .
5.有向图:顶点之间的连接有方向,比如A-B,只能是 A-> B 不能是 B->A .
6.带权图:这种边带权值的图也叫网.
图的表示方式
图的表示方式有两种:二维数组表示(邻接矩阵);链表表示(邻接表)。
邻接矩阵:
邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵,对于n个顶点的图而言,矩阵是的row和col表示的是1…n个点。
邻接表:
1.邻接矩阵需要为每个顶点都分配n个边的空间,其实有很多边都是不存在,会造成空间的一定损失.
2.邻接表的实现只关心存在的边,不关心不存在的边。因此没有空间浪费,邻接表由数组+链表组成
说明:
1.标号为0的结点的相关联的结点为 1 2 3 4
2.标号为1的结点的相关联结点为0 4,
3.标号为2的结点相关联的结点为 0 4 5
4…
图的创建图解和代码实现
构建此图思路分析:
(1) 存储顶点String 使用 ArrayList
(2) 保存矩阵 int[][] edges
代码实现:
public class Graph {
private ArrayList<String> vertexList;//存储顶点集合
private int[][] edges;//存储图的对应的邻接矩阵
private int numOfEdges;//表示边的个数
public static void main(String[] args) {
//测试图创建是否成功
int n = 5; //结点个数
String Vertexs[] = {
"A","B","C","D","E"};
//创建图对象
Graph graph = new Graph(n);
//循环添加顶点
for (String Vertex : Vertexs){
graph.insertVertex(Vertex);
}
//添加边
//A-B A-C B-C B-D B-E
graph.insertEdge(0, 1, 1);
graph.insertEdge(0, 2, 1);
graph.insertEdge(1, 2, 1);
graph.insertEdge(1, 3, 1);
graph.insertEdge(1, 4, 1);
//显示邻结矩阵
graph.showGraph();
}
//构造器 对属性初始化
public Graph(int n) {
//传入顶点的个数
//初始化矩阵和vertexList
edges = new int[n][n];
vertexList = new ArrayList<String>(n);
numOfEdges = 0;
}
//图中常用的方法
//返回结点的个数
public int getNumOfVertex() {
return vertexList.size();
}
//显示图对应的矩阵
public void showGraph(){
for (int[] link : edges){
System.out.println(Arrays.toString(link));
}
}
//得到边的数目
public int getNumOfEdges() {
return numOfEdges;
}
//返回结点i(下标)对应的下标0->"A" 1->"B" 2->"C"
public String getValueByIndex(int i) {
return vertexList.get(i);
}
//返回v1和v2的权值
public int getWeight(int v1, int v2) {
return edges[v1][v2];
}
//插入结点
public void insertVertex(String vertex) {
vertexList.add(vertex);
}
//添加边
/**
* @param v1 表示点的下标即是第几个顶点 "A"-"B" "A"->0 "B"->1
* @param v2 第第二个顶点对应的下标
* @param weight 表示矩阵里用什么来表示
*/
public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
edges[v1][v2] = weight;
edges[v2][v1] = weight;
numOfEdges++;
}
}
图的深度优先(DFS)算法图解与实现
图遍历介绍
所谓图的遍历,即是对结点的访问。一个图有那么多个结点,如何遍历这些结点,需要特定策略,一般有两种访问策略:
(1) 深度优先遍历
(2)广度优先遍历
深度优先遍历基本思想
图的深度优先搜索(Depth First Search) 。
1.深度优先遍历,从初始访问结点出发,初始访问结点可能有多个邻接结点,
深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接结点,
然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点,访问它的第一个邻接结点,
可以这样理解:每次访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。
2.我们可以看到,这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入,
而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。
3.显然,深度优先搜索是一个递归的过程。
深度优先遍历算法步骤:
1.访问初始结点v,并标记结点v为已访问。
2.查找结点v的第一个邻接结点w。
3.若w存在,则继续执行4,如果w不存在,则回到第1步,将从v的下一个结点继续。
4.若w未被访问,对w进行深度优先遍历递归(即把w当做另一个v,然后进行步骤123)。
5.若w被访问,查找结点v的w邻接结点的下一个邻接结点,转到步骤3。
看一个具体案例分析:
要求:对下图进行深度优先搜索, 从A 开始遍历。
A B C D E A 0 1 1 0 0 B 1 0 1 1 1 C 1 1 0 0 0 D 0 1 0 0 0 E 0 1 0 0 0
说明
(1) 1 表示能够直接连接
(2) 0 表示不能直接连接>
结果:a->b->c->d->e
public class Graph {
private ArrayList<String> vertexList;//存储顶点集合
private int[][] edges;//存储图的对应的邻接矩阵
private int numOfEdges;//表示边的个数
//定义数组boolean[],记录某个结点是否被访问
private boolean[] isVisited;
public static void main(String[] args) {
//测试图创建是否成功
int n = 5; //结点个数
String Vertexs[] = {
"A", "B", "C", "D", "E"};
//创建图对象
Graph graph = new Graph(n);
//循环添加顶点
for (String Vertex : Vertexs) {
graph.insertVertex(Vertex);
}
//添加边
//A-B A-C B-C B-D B-E
graph.insertEdge(0, 1, 1);
graph.insertEdge(0, 2, 1);
graph.insertEdge(1, 2, 1);
graph.insertEdge(1, 3, 1);
graph.insertEdge(1, 4, 1);
//显示邻结矩阵
graph.showGraph();
//测试深度dfs遍历
System.out.println("深度遍历");
graph.dfs();//A->B->C->D->E
}
//构造器 对属性初始化
public Graph(int n) {
//传入顶点的个数
//初始化矩阵和vertexList
edges = new int[n][n];
vertexList = new ArrayList<String>(n);
numOfEdges = 0;
isVisited = new boolean[n];
}
//得到第一个邻接结点的下标 w
/**
* @param index 传入的下标
* @return 如果存在, 就返回对应的下标, 否则返回-1
*/
public int getFirstNeighbor(int index) {
for (int j = 0; j < vertexList.size(); j++) {
if (edges[index][j] > 0) {
return j;
}
}
return -1;
}
//深度优先遍历算法
//i 第一次是0
private void dfs(boolean[] isVisited, int i) {
//首先我们访问该结点,输出
System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
//将该结点设置为已经访问过
isVisited[i] = true;
//这句话就是:查找结点i的第一个邻接结点w
int w = getFirstNeighbor(i);
while (w != -1) {
//说明有邻接结点
if (!isVisited[w]) {
dfs(isVisited, w);
}
//如果w结点存在,且已经被访问过
w = getNextNeighbor(i, w);
}
}
//对dfs,进行一个重载,遍历所有的结点,并进行dfs
public void dfs() {
//遍历所有的结点,进行dfs[回溯]
for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
if (!isVisited[i]) {
dfs(isVisited, i);
}
}
}
//根据前一个邻接结点的下标来获取下一个邻接结点
public int getNextNeighbor(int v1, int v2) {
for (int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) {
if (edges[v1][j] > 0) {
return j;
}
}
return -1;
}
//图中常用的方法
//返回结点的个数
public int getNumOfVertex() {
return vertexList.size();
}
//显示图对应的矩阵
public void showGraph() {
for (int[] link : edges) {
System.out.println(Arrays.toString(link));
}
}
//得到边的数目
public int getNumOfEdges() {
return numOfEdges;
}
//返回结点i(下标)对应的下标0->"A" 1->"B" 2->"C"
public String getValueByIndex(int i) {
return vertexList.get(i);
}
//返回v1和v2的权值
public int getWeight(int v1, int v2) {
return edges[v1][v2];
}
//插入结点
public void insertVertex(String vertex) {
vertexList.add(vertex);
}
//添加边
/**
* @param v1 表示点的下标即是第几个顶点 "A"-"B" "A"->0 "B"->1
* @param v2 第第二个顶点对应的下标
* @param weight 表示矩阵里用什么来表示
*/
public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
edges[v1][v2] = weight;
edges[v2][v1] = weight;
numOfEdges++;
}
}
图的广度优先(BFS)算法图解
广度优先遍历基本思想
图的广度优先搜索(Broad First Search) 。
- 类似于一个分层搜索的过程,广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序,以便按这个顺序来访问这些结点的邻接结点
广度优先遍历算法步骤:
1.访问初始结点v并标记结点v为已访问。
2.结点v入队列
3.当队列非空时,继续执行,否则算法结束。
4.出队列,取得队头结点u。
5.查找结点u的第一个邻接结点w。
6.若结点u的邻接结点w不存在,则转到步骤3;否则循环执行以下三个步骤:
- 6.1. 若结点w尚未被访问,则访问结点w并标记为已访问。
6.2 结点w入队列
6.3 查找结点u的继w邻接结点后的下一个邻接结点w,转到6.
A B C D E A 0 1 1 0 0 B 1 0 1 1 1 C 1 1 0 0 0 D 0 1 0 0 0 E 0 1 0 0 0
说明
(1) 1 表示能够直接连接
(2) 0 表示不能直接连接
代码实现:
public class Graph {
private ArrayList<String> vertexList;//存储顶点集合
private int[][] edges;//存储图的对应的邻接矩阵
private int numOfEdges;//表示边的个数
//定义数组boolean[],记录某个结点是否被访问
private boolean[] isVisited;
public static void main(String[] args) {
//测试图创建是否成功
int n = 5; //结点个数
String Vertexs[] = {
"A", "B", "C", "D", "E"};
//创建图对象
Graph graph = new Graph(n);
//循环添加顶点
for (String Vertex : Vertexs) {
graph.insertVertex(Vertex);
}
//添加边
//A-B A-C B-C B-D B-E
graph.insertEdge(0, 1, 1);
graph.insertEdge(0, 2, 1);
graph.insertEdge(1, 2, 1);
graph.insertEdge(1, 3, 1);
graph.insertEdge(1, 4, 1);
//显示邻结矩阵
graph.showGraph();
//测试深度dfs遍历
System.out.println("深度遍历");
graph.dfs();//A->B->C->D->E
System.out.println();
System.out.println("广度优先!");
graph.bfs();//A->B->C->D->E
}
//构造器 对属性初始化
public Graph(int n) {
//传入顶点的个数
//初始化矩阵和vertexList
edges = new int[n][n];
vertexList = new ArrayList<String>(n);
numOfEdges = 0;
}
//得到第一个邻接结点的下标 w
/**
* @param index 传入的下标
* @return 如果存在, 就返回对应的下标, 否则返回-1
*/
public int getFirstNeighbor(int index) {
for (int j = 0; j < vertexList.size(); j++) {
if (edges[index][j] > 0) {
return j;
}
}
return -1;
}
//深度优先遍历算法
//i 第一次是0
private void dfs(boolean[] isVisited, int i) {
//首先我们访问该结点,输出
System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
//将该结点设置为已经访问过
isVisited[i] = true;
//这句话就是:查找结点i的第一个邻接结点w
int w = getFirstNeighbor(i);
while (w != -1) {
//说明有邻接结点
if (!isVisited[w]) {
dfs(isVisited, w);
}
//如果w结点存在,且已经被访问过
w = getNextNeighbor(i, w);
}
}
//对dfs,进行一个重载,遍历所有的结点,并进行dfs
public void dfs() {
isVisited = new boolean[getNumOfVertex()];
//遍历所有的结点,进行dfs[回溯]
for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
if (!isVisited[i]) {
dfs(isVisited, i);
}
}
}
//对一个结点进行广度优先遍历的方法
private void bfs(boolean[] isVisited, int i) {
int u;//表示队列的头节点对应的下标
int w;//邻接结点w
//队列,记录结点访问的顺序
LinkedList queue = new LinkedList();
//访问结点,输出结点信息
System.out.print(getValueByIndex(i) + "=>");
//标记为已访问
isVisited[i] = true;
//将结点加入队列
queue.addLast(i);
while ( !queue.isEmpty()) {
//取出队列的头节点下标
u = (Integer) queue.removeLast();//自动拆箱
//得到第一个邻接点的下标 w
w = getFirstNeighbor(u);
while (w != -1){
//找到
//是否访问过
if (!isVisited[w]){
System.out.print(getValueByIndex(w) + "=>");
//标记已经访问
isVisited[w] = true;
//入队
queue.addLast(w);
}
//如果访问过,以u为前驱,找w后面的下一个邻接点
w = getNextNeighbor(u, w);//以u这行,w的下一个结点
//体现出我们的广度优先!!
}
}
}
//遍历所有的结点,都进行广度优先搜索
public void bfs(){
isVisited = new boolean[getNumOfVertex()];
for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
if (!isVisited[i]){
bfs(isVisited, i);
}
}
}
//根据前一个邻接结点的下标来获取下一个邻接结点
public int getNextNeighbor(int v1, int v2) {
for (int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) {
if (edges[v1][j] > 0) {
return j;
}
}
return -1;
}
//图中常用的方法
//返回结点的个数
public int getNumOfVertex() {
return vertexList.size();
}
//显示图对应的矩阵
public void showGraph() {
for (int[] link : edges) {
System.out.println(Arrays.toString(link));
}
}
//得到边的数目
public int getNumOfEdges() {
return numOfEdges;
}
//返回结点i(下标)对应的下标0->"A" 1->"B" 2->"C"
public String getValueByIndex(int i) {
return vertexList.get(i);
}
//返回v1和v2的权值
public int getWeight(int v1, int v2) {
return edges[v1][v2];
}
//插入结点
public void insertVertex(String vertex) {
vertexList.add(vertex);
}
//添加边
/**
* @param v1 表示点的下标即是第几个顶点 "A"-"B" "A"->0 "B"->1
* @param v2 第第二个顶点对应的下标
* @param weight 表示矩阵里用什么来表示
*/
public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
edges[v1][v2] = weight;
edges[v2][v1] = weight;
numOfEdges++;
}
}
图的DFS和BFS比较
graph.insertEdge(0, 1, 1);
graph.insertEdge(0, 2, 1);
graph.insertEdge(1, 3, 1);
graph.insertEdge(1, 4, 1);
graph.insertEdge(3, 7, 1);
graph.insertEdge(4, 7, 1);
graph.insertEdge(2, 5, 1);
graph.insertEdge(2, 6, 1);
graph.insertEdge(5, 6, 1);
深度优先遍历顺序为 1->2->4->8->5->3->6->7
广度优先算法的遍历顺序为:1->2->3->4->5->6->7->8
代码实现:
public class Graph {
private ArrayList<String> vertexList;//存储顶点集合
private int[][] edges;//存储图的对应的邻接矩阵
private int numOfEdges;//表示边的个数
//定义数组boolean[],记录某个结点是否被访问
private boolean[] isVisited;
public static void main(String[] args) {
//测试图创建是否成功
int n = 8; //结点个数
//String Vertexs[] = {"A", "B", "C", "D", "E"};
String Vertexs[] = {
"1", "2", "3", "4", "5","6","7","8"};
//创建图对象
Graph graph = new Graph(n);
//循环添加顶点
for (String Vertex : Vertexs) {
graph.insertVertex(Vertex);
}
//添加边
//A-B A-C B-C B-D B-E
/*graph.insertEdge(0, 1, 1);
graph.insertEdge(0, 2, 1);
graph.insertEdge(1, 2, 1);
graph.insertEdge(1, 3, 1);
graph.insertEdge(1, 4, 1);*/
//更新边的关系
graph.insertEdge(0, 1, 1);
graph.insertEdge(0, 2, 1);
graph.insertEdge(1, 3, 1);
graph.insertEdge(1, 4, 1);
graph.insertEdge(3, 7, 1);
graph.insertEdge(4, 7, 1);
graph.insertEdge(2, 5, 1);
graph.insertEdge(2, 6, 1);
graph.insertEdge(5, 6, 1);
//显示邻结矩阵
graph.showGraph();
//测试深度dfs遍历
System.out.println("深度遍历");
graph.dfs();//A->B->C->D->E
System.out.println();
System.out.println("广度优先!");
graph.bfs();//A->B->C->D->E
}
//构造器 对属性初始化
public Graph(int n) {
//传入顶点的个数
//初始化矩阵和vertexList
edges = new int[n][n];
vertexList = new ArrayList<String>(n);
numOfEdges = 0;
}
//得到第一个邻接结点的下标 w
/**
* @param index 传入的下标
* @return 如果存在, 就返回对应的下标, 否则返回-1
*/
public int getFirstNeighbor(int index) {
for (int j = 0; j < vertexList.size(); j++) {
if (edges[index][j] > 0) {
return j;
}
}
return -1;
}
//深度优先遍历算法
//i 第一次是0
private void dfs(boolean[] isVisited, int i) {
//首先我们访问该结点,输出
System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
//将该结点设置为已经访问过
isVisited[i] = true;
//这句话就是:查找结点i的第一个邻接结点w
int w = getFirstNeighbor(i);
while (w != -1) {
//说明有邻接结点
if (!isVisited[w]) {
dfs(isVisited, w);
}
//如果w结点存在,且已经被访问过
w = getNextNeighbor(i, w);
}
}
//对dfs,进行一个重载,遍历所有的结点,并进行dfs
public void dfs() {
isVisited = new boolean[vertexList.size()];
//遍历所有的结点,进行dfs[回溯]
for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
if (!isVisited[i]) {
dfs(isVisited, i);
}
}
}
//对一个结点进行广度优先遍历的方法
private void bfs(boolean[] isVisited, int i) {
int u;//表示队列的头节点对应的下标
int w;//邻接结点w
//队列,记录结点访问的顺序
LinkedList queue = new LinkedList();
//访问结点,输出结点信息
System.out.print(getValueByIndex(i) + "=>");
//标记为已访问
isVisited[i] = true;
//将结点加入队列
queue.addLast(i);
while ( !queue.isEmpty()) {
//取出队列的头节点下标
u = (Integer) queue.removeFirst();//自动拆箱
//得到第一个邻接点的下标 w
w = getFirstNeighbor(u);
while (w != -1){
//找到
//是否访问过
if (!isVisited[w]){
System.out.print(getValueByIndex(w) + "=>");
//标记已经访问
isVisited[w] = true;
//入队
queue.addLast(w);
}
//如果访问过,以u为前驱,找w后面的下一个邻接点
w = getNextNeighbor(u, w);//以u这行,w的下一个结点
//体现出我们的广度优先!!
}
}
}
//遍历所有的结点,都进行广度优先搜索
public void bfs(){
isVisited = new boolean[vertexList.size()];
for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
if (!isVisited[i]){
bfs(isVisited, i);
}
}
}
//根据前一个邻接结点的下标来获取下一个邻接结点
public int getNextNeighbor(int v1, int v2) {
for (int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) {
if (edges[v1][j] > 0) {
return j;
}
}
return -1;
}
//图中常用的方法
//返回结点的个数
public int getNumOfVertex() {
return vertexList.size();
}
//显示图对应的矩阵
public void showGraph() {
for (int[] link : edges) {
System.out.println(Arrays.toString(link));
}
}
//得到边的数目
public int getNumOfEdges() {
return numOfEdges;
}
//返回结点i(下标)对应的下标0->"A" 1->"B" 2->"C"
public String getValueByIndex(int i) {
return vertexList.get(i);
}
//返回v1和v2的权值
public int getWeight(int v1, int v2) {
return edges[v1][v2];
}
//插入结点
public void insertVertex(String vertex) {
vertexList.add(vertex);
}
//添加边
/**
* @param v1 表示点的下标即是第几个顶点 "A"-"B" "A"->0 "B"->1
* @param v2 第第二个顶点对应的下标
* @param weight 表示矩阵里用什么来表示
*/
public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
edges[v1][v2] = weight;
edges[v2][v1] = weight;
numOfEdges++;
}
}