仿射密码(Affine Cipher)

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仿射密码是代换密码的一种特殊情况。

在学习仿射密码之前我们首先需要了解几个定理

定理

同余方程唯一解定理

设a ∈ Z_m,对任意的b∈Z_m，同余方程ax ≡ b (mod m)有唯一解x∈Z_m的充分必要条件是gcd(a, m) = 1*.*

证明：假设gcd(a,m)=d>1，则同余方程ax=0(modm)至少有两个解，分别是x=0和x=m/d。这种情况下e(x)=(ax+b)modm不是一个单射函数，因此不能用了作为一个有效的加密函数。

有了如上的定理我们就很快能判断一个函数是否是有效的加密函数，比如gcd(26,2)=2那么4x+7不是一个有效的加密函数。因为对任意的x∈Z₂₆，x和x+13将被加密成相同的密文。

接下来我们看一下仿射密码的秘钥空间，因为26=2×13，所以所有与26互素的数为a= 1 3 5 7 9 11 15 17 19 21 23 25而b可能是Z₂₆中的任何数，因此仿射密码的秘钥空间为12×26=312.由此也可以看出仿射密码是很不安全的。

欧拉函数和欧拉定理

设 a ≥ 1*,* m ≥ 2. 如果 gcd(a, m) = 1, 则称a与m互素。Z_m中所有域m互素元素个数用φ(m)来表示（函数φ也称为欧拉函数）

以一个通俗的式子来说明欧拉定理：

φ（72）=φ（2³×3²)=2^3-1(2-1)×3^2-1(3-1)=2²×1×3×2=24

乘法逆

设a∈ Z_m，若存在a^’∈Z_m，使得aa^’≡1(mod m),则称a模m可逆，a^’为a的（乘法）逆元，a^’可记为a^-1 mod m,在m固定的情形下，简记为a^-1

由之前的结论可知，a在Z_m上存在乘法逆，当且仅当gcd(a,m)=1,并且其逆如果存在，则必唯一。

在Z₂₆的情形下，与26互素的乘法逆如下表所示：

仿射密码

令P=C=Z₂₆，且K={(a,b)∈Z₂₆×Z₂₆ ：gcd(a,26)=1}对任意的k=(a,b)∈K, x,y属于Z₂₆，定义e_k(x)=(ax+b)mod26和d_k(y)=a^-1(y-b)mod 26

代码实现

package com.slp.cryptography;

import java.util.HashMap;
import java.util.Map;

/**
 * @ClassName AffineCipher
 * @Description 仿射密码
 * @Author sanglp
 * @Date 2020/11/30 14:43
 * @Version 1.0
 **/
public class AffineCipher {
    
    
    static Map<Integer,Integer> reverseMap = new HashMap<Integer,Integer>();
    static{
    
    
        reverseMap.put(1,1);
        reverseMap.put(3,9);
        reverseMap.put(9,3);
        reverseMap.put(5,21);
        reverseMap.put(21,5);
        reverseMap.put(7,15);
        reverseMap.put(15,7);
        reverseMap.put(11,19);
        reverseMap.put(19,11);
        reverseMap.put(17,23);
        reverseMap.put(23,17);
        reverseMap.put(25,25);
    }
    public static void main(String[] args) {
    
    
        encrypt("hot",7,3);
        decrypt("AXG",7,3);
    }

    /**
     * (ax+b)mod26 是加密函数
     * @param resource
     * @param a
     * @param b
     */
    public static void encrypt(String resource,int a,int b){
    
    
        if(!reverseMap.containsKey(a)|| b<0||b>26){
    
    
            throw new RuntimeException("参数有误，请重新输入");
        }
     char[] arr = resource.toUpperCase().toCharArray();
     StringBuilder result = new StringBuilder();
     for(int i=0;i<arr.length;i++){
    
    
       int temp =  (a*(arr[i]-'A')+b)%26<0?(a*(arr[i]-'A')+b)%26+26:(a*(arr[i]-'A')+b)%26;
         result.append((char)(temp+'A'));
     }
        System.out.println(result);
    }

    /**
     * 解密函数为a逆(y-b)mod26
     * @param resource
     * @param a
     * @param b
     */
    public static void decrypt(String resource,int a,int b){
    
    
        int  re =reverseMap.get(a);//求得逆 后续会整理求逆的方法
        char[] arr = resource.toUpperCase().toCharArray();
        StringBuilder result = new StringBuilder();
        for(int i=0;i<arr.length;i++){
    
    
            int temp = (re*(arr[i]-'A'-b))%26<0?(re*(arr[i]-'A'-b))%26+26:(re*(arr[i]-'A'-b))%26;
            result.append((char)(temp+'A'));
        }
        System.out.println(result);
    }
}