给你一个可装载重量为
W
的背包和N
个物品(每个物品不一样),每个物品有重量和价值两个属性。其中第i
个物品的重量为wt[i]
,价值为val[i]
,现在让你用这个背包装物品,最多能装的价值是多少?
示例:
输入:
W = 4, N = 3
wt = [2, 1, 3]
val = [4, 2, 3]
输出:6
解释:选择前两件物品装进背包,总重量 3 小于W
,可以获得最大价值 6。
这个题目中的物品不可以分割,要么装进包里,要么不装,不能说切成两块装一半。这也许就是 0-1
背包这个名词的来历。
动态规划套路
- 第一步要明确两点:
「状态」
和「选择」
先说状态,如何才能描述一个问题局面?只要给定几个可选物品和一个背包的容量限制,就形成了一个背包问题,对不对?所以状态有两个,就是「背包的容量」和「可选择的物品」。
再说选择,也很容易想到啊,对于每件物品,你能选择什么?选择就是「装进背包」或者「不装进背包」嘛。
明白了状态和选择,动态规划问题基本上就解决了,只要往这个框架套就完事儿了:
for 状态1 in 状态1的所有取值:
for 状态2 in 状态2的所有取值:
for ...
dp[状态1][状态2][...] = 择优(选择1,选择2...)
- 第二步要明确
dp
数组的定义
dp
数组是什么?其实就是描述问题局面的一个数组。换句话说,我们刚才明确问题有什么「状态」,现在需要用dp
数组把状态表示出来。
首先看看刚才找到的「状态」,有两个,也就是说我们需要一个二维dp
数组,一维表示可选择的物品,一维表示背包的容量。
dp[i][w]
的定义如下:对于前i
个物品,当前背包的容量为w
,这种情况下可以装的最大价值是dp[i][w]
。
比如说,如果 dp[3][5] = 6,其含义为:对于给定的一系列物品中,若只对前 3 个物品进行选择,当背包容量为 5 时,最多可以装下的价值为 6。
PS:为什么要这么定义?便于状态转移,或者说这就是套路,记下来就行了。建议看一下我们的动态规划系列文章,几种动规套路都被扒得清清楚楚了。
根据这个定义,我们想求的最终答案就是dp[N][W]
。
base case 就是dp[0][..] = dp[..][0] = 0
,因为没有物品或者背包没有空间的时候,能装的最大价值就是 0。
细化上面的框架:
int dp[N+1][W+1]
dp[0][..] = 0
dp[..][0] = 0
for i in [1..N]:
for w in [1..W]:
dp[i][w] = max(
把物品 i 装进背包,
不把物品 i 装进背包
)
return dp[N][W]
- 第三步,根据
「选择」
,思考状态转移的逻辑
简单说就是,上面伪码中「把物品i
装进背包」和「不把物品i
装进背包」怎么用代码体现出来呢?
这一步要结合对dp
数组的定义和我们的算法逻辑来分析:
先重申一下刚才我们的dp
数组的定义:
dp[i][w]
表示:对于前i
个物品,当前背包的容量为w
时,这种情况下可以装下的最大价值是dp[i][w]
。
-
如果没有把这第
i
个物品装入背包,那么很显然,最大价值dp[i][w]
应该等于dp[i-1][w]
。 -
如果把这第
i
个物品装入了背包,那么dp[i][w]
应该等于dp[i-1][w-wt[i-1]] + val[i-1]
。
首先,由于i
是从 1 开始的,所以对val
和wt
的取值是i-1
。
而dp[i-1][w-wt[i-1]]
也很好理解:你如果想装第i
个物品,你怎么计算这时候的最大价值?换句话说,在装第i
个物品的前提下,背包能装的最大价值是多少?
显然,你应该寻求剩余重量w-wt[i-1]
限制下能装的最大价值,加上第i
个物品的价值val[i-1]
,这就是装第i
个物品的前提下,背包可以装的最大价值。
综上就是两种选择,我们都已经分析完毕,也就是写出来了状态转移方程,可以进一步细化代码:
for i in [1..N]:
for w in [1..W]:
dp[i][w] = max(
dp[i-1][w],
dp[i-1][w - wt[i-1]] + val[i-1]
)
return dp[N][W]
- 最后一步,把伪码翻译成代码,处理一些边界情况
处理w - wt[i-1]
可能小于 0 导致数组索引越界的问题
这里遍历数组的顺序就是正着遍历
index | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
---|---|---|---|---|---|---|
wt | ||||||
val |
完整代码如下:
class Solution {
public int knapSack (int W, int N, int[] wt, int[] val){
int[][] dp = new int[N+1][W+1];
for(int i = 1; i <= N; i++){
for(int j = 1; j <= W; j++){
if(j-wt[i-1] < 0){
dp[i][j] = dp[i-1][j]; // 当前背包容量装不下,只能选择不装入背包
}else {
// 装入或者不装入背包,择优
dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j-wt[i-1]]+val[i-1],
dp[i-1][j] );
}
}
}
return dp[N][W];
}
}
时间复杂度:O(n^2)
空间复杂度:O(n^2)
参考原文:labuladong