简介
上一篇介绍了非对称加密算法中的RSARSA算法简介,这次看一下ElGamal算法。
首先它是一个基于迪菲-赫尔曼密钥交换的非对称加密算法。它在1985年由塔希尔·盖莫尔提出。它可以定义在任何循环群G上。它的安全性取决于G上的离散对数难题。(RSA基于大数的因数分解)
在介绍算法原理之前先熟悉几个概念:
阶
设n>1,a和n互质,则必有一个x (1≤x ≤n-1)使得: ax ≡ 1 (mod n )
满足ax ≡ 1 (mod n ) 的最小整数x , 称为a模n的阶。符号表示为Ordn(a)
观察方程 ax ≡1(modn) 根据欧拉定理,显然我们可以知道φ(n) 是方程的一个解,但它未必是最小的,所以不一定是阶,而当φ(n) 是a模n的阶时,我们称a为n的一个本原元。
本原元
当a模n的阶为φ(n),也就是说当且仅当x是φ(n)的倍数,使得ax ≡1(mod n)成立,此时称a为n的本原元。
举个例子:
这些余数构成了一个模7的完全剩余系1,2,3,4,5,6,也就是对于任意a,都可以找到x0使得:
5x0 ≡a (mod 7)。
本原元求解Python:
# 用辗转相除求最大公因子
def gcd(a, b):
r = a % b
while r != 0:
a = b
b = r
r = a % b
return b
# 欧拉函数
def euler(a):
cnt = 0
for i in range(1, a):
if gcd(a, i) == 1:
cnt += 1
return cnt
# 阶
def order(a, n, b):
# 输出b在mod(a)中的阶
# n是mod(a)群的阶
p = 1
while p <= n and b ** p % a != 1:
p += 1
if p <= n:
return p
else:
return -1
# 求本原元
def primitive_root(a):
n = euler(a)
for b in range(2, a):
if order(a, n, b) == n:
return b
print(primitive_root(37))
# 可以看到,是2
算法流程
同样是通过一个案例来介绍,还是Alice欲使用ElGamal加密算法向 Bob 发送信息。。
1.密钥生成
-
对于Bob,首先要随机选择一个大素数p,且要求p-1有大素数因子。再选择一个模p的本原元α。将p和α公开。我们为了方便计算取p = 37,则Z37的一个本原元α = 2.
-
随机选择一个整数d作为密钥,2≤d≤p-2 。我们选择d = 5,
-
计算β=αd mod p,β=25 mod 37 = 32
2.加密
假设Alice 想发送消息 x = 29
- 首先选取随机数k , 假设k = 7
则: y1 = αk mod p = 27 mod 37 = 17
y2 = x βk mod p = 29×327 mod 37 = 33 - 将密文y = (17,33)发送给Bob
3.解密
Bob收到密文y = (17,33) 后恢复明文如下:
x = y2 (y1d) -1 mod p
= 33 (175) -1 mod 37
= 33×2 mod 37
= 29