062 不同路径

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/unique-paths

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。
问总共有多少条不同的路径？

思路

参考https://leetcode-cn.com/problems/unique-paths/solution/dong-tai-gui-hua-by-powcai-2/
看作一道数学题，机器人一共要向右走m-1步和向下走n-1步，并且两种走法互斥。要在m+n-2次选择中，确定m-1个向右的时机，路径 $C_{m+n-2}^{m-1}$（或者n-1次向下，结果相同）。

主要考察还是动态规划：
转移方程 dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
并设dp[i][0] = dp[0][j] = 1
根据题解思路优化，还可以只记录dp[i-1][j]和dp[i][j-1]的数据（和“互斥”的思想也有类似）。

Python 实现

（动态规划仅放原始版本，优化代码请看原链接）

class Solution:
    def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
        return comb(m + n - 2, m- 1)

class Solution:
    def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
        dp = [[1]*n] + [[1]+[0] * (n-1) for _ in range(m-1)]
        #print(dp)
        for i in range(1, m):
            for j in range(1, n):
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
        return dp[-1][-1]
        
# 作者：powcai
# 链接：https://leetcode-cn.com/problems/unique-paths/solution/dong-tai-gui-hua-by-powcai-2/
# 来源：力扣（LeetCode）
# 著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

070 爬楼梯

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/climbing-stairs

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
注意：给定 n 是一个正整数。

示例：

输入： 2
输出： 2
解释： 有两种方法可以爬到楼顶。

1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶

输入： 3
输出： 3
解释： 有三种方法可以爬到楼顶。

1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

（数学题，还记得是斐波那契数列）
f(n)=f(n-1)+f(n-2)，对f(n)，最后一步可能是一级或两级，所以将前面两项加起来得到
纯数学方法：斐波那契数列公式推导，可参考百度百科。
动态规划：dp(n)=dp(n-1)+dp(n-2)
初始化dp[0]=1,dp[1]=1。

关于dp[0]的赋值，有人认为从题目n为正整数出发，不应考虑dp[0]，直接dp[1] = 1，dp[2] = 2，range(3,n+2)递推，以符合dp[i]的定义。个人觉得数列本身（0），1，1，2,…，结合递推公式可以认为dp[2] = 2和dp[0]=1是等价的，顺手就行，也不必为dp[0]强行赋予意义。
关于dp[0]的其他讨论可以移步精选题解的评论区。此外，这篇还讨论了3，4，5…步的情况的扩展：https://leetcode-cn.com/problems/climbing-stairs/solution/70-pa-lou-ti-dong-tai-gui-hua-jing-dian-a3na7/

Python实现

class Solution:
    def climbStairs(self, n: int) -> int:
        dp = [0] * (n + 1)
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;
        for i in range(2,n+1):  # 注意（2，n+1）或（3，n+2)
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        return dp[n];

078 子集

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/subsets

给你一个整数数组 nums ，返回该数组所有可能的子集（幂集）。解集不能包含重复的子集。

示例：

输入：nums = [1,2,3]
输出：[[],[1],[2],[1,2],[3],[1,3],[2,3],[1,2,3]]

输入：nums = [0]
输出：[[],[0]]

提示：

1 <= nums.length <= 10
-10 <= nums[i] <= 10

思路

回溯。题解中有两篇关于回溯题目合集https://leetcode-cn.com/problems/subsets/solution/hui-su-suan-fa-by-powcai-5/
两种做法：对每个数字，都有选、不选两种；
https://leetcode-cn.com/problems/subsets/solution/shou-hua-tu-jie-zi-ji-hui-su-fa-xiang-jie-wei-yun-/

其实回溯算法关键在于:不合适就退回上一步
然后通过约束条件, 减少时间复杂度.

回溯与递归：
深度优先搜索是递归实现的，是要搜索整个二叉树的，在这个搜索的基础上，再加点回溯/剪枝的操作就是这一类排列组合的题了，是这个关系
（官方题解下的评论https://leetcode-cn.com/problems/subsets/solution/zi-ji-by-leetcode-solution/601898）

Python实现

class Solution:
    def subsets(self, nums: List[int]) -> List[List[int]]:
        res = []
        n = len(nums)
        
        def helper(i, tmp): # 辅助函数
            res.append(tmp)
            for j in range(i, n):
                helper(j + 1,tmp + [nums[j]] )
        helper(0, [])
        return res  
# 作者：powcai
#链接：https://leetcode-cn.com/problems/subsets/solution/hui-su-suan-fa-by-powcai-5/
#来源：力扣（LeetCode）
#著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

补充知识

斐波那契数列第n项的求解方法：

• n比较小的时候，可以直接使用过递归法求解，不做任何记忆化操作，时间复杂度是O(2^n)，存在很多冗余计算。
• 一般情况下，我们使用「记忆化搜索」或者「迭代」的方法，实现这个转移方程，时间复杂度和空间复杂度都可以做到O(n)。
• 为了优化空间复杂度，我们可以不用保存f(x−2)之前的项，我们只用三个变量来维护f(x)、f(x−1)和f(x−2)，你可以理解成是把「滚动数组思想」应用在了动态规划中，也可以理解成是一种递推，这样随着n的不断增大O(n)可能已经不能满足我们的需要了，我们可以用「矩阵快速幂」的方法把算法加速到O(log⁡n)。
• 我们也可以把n代入斐波那契数列的通项公式计算结果，但是如果我们用浮点数计算来实现，可能会产生精度误差。

作者：LeetCode-Solution
链接：https://leetcode-cn.com/problems/climbing-stairs/solution/pa-lou-ti-by-leetcode-solution/