给定n中物品和一个容量为c的背包,物品i的重量为Wi,其价值为Vi,0-1背包问题是如何选择装入背包的物品(物品不可分割),使得装入背包的物品的价值为最大。
1.题目分析:
考虑到每种物品只有2 种选择,即装入背包或不装入背包,并且物品数和背包容量已给定,要计算装入背包物品的最大价值和最优装入方案,可用回溯法搜索子集树的算法进行求解。
2.算法设计:
a. 物品有n种,背包容量为C,分别用p[i]和w[i]存储第i种物品的价值和重量,用
x[i]标记第i种物品是否装入背包,0,代表不取这个物品,1,代表取这个物品,用bestx[i]存储第i种物品的最优装载方案;
b. 用递归函数Backtrack (i,cp,cw)来实现回溯法搜索子集树(形式参数i表示递归深
度,n用来控制递归深度,形式参数cp和cw表示当前总价值和总重量,bestp表示当前
最优总价值):
① 若i >n,则算法搜索到一个叶结点,判断当前总价值是否最优:
1> 若cp>bestp,更新当前最优总价值为当前总价值(即bestp=cp),更新
装载方案(即bestx[i]=x[i]( 1≤i≤n));
② 采用for循环对物品i装与不装两种情况进行讨论(0≤j≤1):
1> x[i]=j;
2> 若总重量不大于背包容量(即cw+x[i]*w[i]<=c),则更新当前总价 br=""> 值和总重量(即cw+=w[i]*x[i],cp+=p[i]*x[i]), 对物品i+1调用递归函
数Backtrack(i+1,cp,cw) 继续进行装载;
3> 函数Backtrack(i+1,cp,cw)调用结束后则返回当前总价值和总重量
(即 cw-=w[i]*x[i],cp-=p[i]*x[i]);
4> 当j>1时,for循环结束;
③ 当i=1时,若已测试完所有装载方案,外层调用就全部结束;
c. 主函数调用一次backtrack(1,0,0)即可完成整个回溯搜索过程,最终得到的bestp和bestx[i]即为所求最大总价值和最优装载方案。
java实现:
public class KnapsackProblem { static int n, c, bestp;//物品的个数,背包的容量,最大价值 static int[] p = new int[10000], w = new int[10000], x = new int[10000], bestx = new int[10000];//物品的价值,物品的重量,x[i]暂存物品的选中情况,物品的 选中情况 public static void main(String[] args) { bestp = 0; KnapsackProblem kp = new KnapsackProblem(); //用例1 c = 10; n = 10; w = new int[]{2, 2, 6, 5, 4, 4, 3, 4, 6, 3}; p = new int[]{6, 3, 5, 4, 6, 2, 8, 3, 1, 7}; kp.dfsByBackTraching(0, 0, 0); System.out.println(bestp); for (int s = 0; s < 10; s++) { System.out.print(bestx[s] + " "); } System.out.println(); //用例2 c = 5; n = 4; w = new int[]{1, 2, 3, 4}; p = new int[]{2, 4, 4, 5}; bestp = 0; Arrays.fill(x, 0); Arrays.fill(bestx, 0); KnapsackProblem kp1 = new KnapsackProblem(); kp1.dfsByBackTraching(0, 0, 0); System.out.println(bestp); for (int s = 0; s < 4; s++) { System.out.print(bestx[s] + " "); } } void dfsByBackTraching(int i, int cp, int cw) { //cw当前包内物品重量,cp当前包内物品价值 int j; if (i >= n) {//回溯结束 if (cp > bestp) { //是否超过了最大价值 bestp = cp; //更新最大价值 for (i = 0; i < n; i++) { bestx[i] = x[i]; //得到选中的物品,bestx[i]值为1的元素对应的下表即为选中的物品编号 } } } else { for (j = 0; j <= 1; j++) { x[i] = j; if (cw + x[i] * w[i] <= c) { //满足约束,继续向子节点探索 cw += w[i] * x[i]; cp += p[i] * x[i]; dfsByBackTraching(i + 1, cp, cw); //回溯上一层物体的选择情况 cw -= w[i] * x[i]; cp -= p[i] * x[i]; } } } } }
参考:https://blog.csdn.net/u011889952/article/details/44303699