1.AVL树的概念

AVL树又称平衡二叉搜索树。二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。下图为AVL树：
在这里插入图片描述
满足以下性质：

它的左右子树都是AVL树
左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)
如果它有n个结点，其高度可保持在log2n ，搜索时间复杂度O(log2n)

2.AVL树节点的定义

template<class T>
struct AVLTreeNode
{
    
    
    AVLTreeNode(const T& data)
    : _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr)
    , _data(data), _bf(0)
    {
    
    }
    AVLTreeNode<T>* _pLeft; // 该节点的左孩子
    AVLTreeNode<T>* _pRight; // 该节点的右孩子
    AVLTreeNode<T>* _pParent; // 该节点的双亲
    T _data;
    int _bf; // 该节点的平衡因子
};

3.AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入过程可以分为两步：

按照二叉搜索树的方式插入新节点
调整节点的平衡因子

bool Insert(const T& data)
{
    
    
    // 1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中
    // 2. 新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏，此时就需要更新平衡因子，并检测是否破坏了AVL树的平衡性
    /*
    pCur插入后，pParent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，pParent
    的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况：
    1. 如果pCur插入到pParent的左侧，只需给pParent的平衡因子-1即可
    2. 如果pCur插入到pParent的右侧，只需给pParent的平衡因子+1即可
    
    此时：pParent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1， 正负2
    1. 如果pParent的平衡因子为0，说明插入之前pParent的平衡因子为正负1，插     入后被调整成0，此时满足AVL树的性质，插入成功
    2. 如果pParent的平衡因子为正负1，说明插入前pParent的平衡因子一定为0，插入后被更新成正负1，此时以pParent为根的树的高度增加，需要继续向上更新
    3. 如果pParent的平衡因子为正负2，则pParent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进行旋转处理
    */

    if (nullptr == _root)
	{
    
    
		_root = new Node(data);
		return true;
	}

	// 非空
	// 1. 按照二叉搜索树的规则插入新节点
	// 找新节点在树中的插入位置，并记录其双亲
	Node* cur = _root;
	Node* parent = nullptr;
	while (cur)
	{
    
    
		parent = cur;
		if (data < cur->data)
			cur = cur->left;
		else if (data>cur->data)
			cur = cur->right;
		else
			return false;
	}

	// 将新节点插入的位置已经找到了---插入新节点
	cur = new Node(data);
	if (data < parent->data)
		parent->left = cur;
	else
		parent->right = cur;
	cur->parent = parent;

	while (parent)
	{
    
    
		// 新节点插入之后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏
		// 必须要更新平衡因子
		if (cur == parent->left)
			parent->bf--;
		else
			parent->bf++;

		if (0 == parent->bf)
			return true;
		else if (1 == parent->bf || -1 == parent->bf)
		{
    
    
			cur = parent;
			parent = cur->parent;
		}
		else
		{
    
    
			// parent的平衡因子可能为：2 || -2
			if (2 == parent->bf)
			{
    
    
				// 右子树高--->最终旋转是左单旋
				if (1 == cur->bf)
					RotateLeft(parent);
				else
					RotateRL(parent);
			}
			else
			{
    
    
				// 左子树高---->最终旋转是右单旋
				if (-1 == cur->bf)
					RotateRight(parent);
				else
					RotateLR(parent);
			}
			break;
		}
	}
	return true;
}

4.AVL树的旋转

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：

4.1 右单旋

新节点插入较高左子树的左侧。
在这里插入图片描述
上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左子树增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子树增加一层，即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，只能将其放在30的右子树，而如果30有右子树，右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：

30节点的右孩子可能存在，也可能不存在
60可能是根节点，也可能是子树
如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点；
如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树。

void RotateRight(Node* parent)
{
    
    
    // subL: parent的左孩子
    // subLR: parent左孩子的右孩子
    Node* subL = parent->left;
	Node* subLR = subL->right;
    // 旋转完成之后，30的右孩子作为双亲的左孩子
    parent->left = subLR;
    // 如果30的左孩子的右孩子存在，更新双亲
    if (subLR)
		subLR->parent = parent;
    
    // 60作为30的右孩子
    subL->right = parent;

    // 因为60可能是棵子树，因此在更新其双亲前必须先保存60的双亲
    Node* pparent = parent->parent;

    // 更新60的双亲
    parent->parent = subL;

    // 更新30的双亲
    subL->parent = pparent;
    // 如果60是根节点，根新指向根节点的指针
    if (nullptr == pparent)
			_root = subL;
    else
    {
    
    
    // 如果60是子树，可能是其双亲的左子树，也可能是右子树
        if (parent == pparent->left)
			pparent->left = subL;
		else
			pparent->right = subL;
    }
    // 根据调整后的结构更新部分节点的平衡因子
    parent->bf = subL->bf = 0;
}

4.2 左单旋

新节点插入较高右子树的右侧
在这里插入图片描述
情况参考右单旋。

void RotateLeft(Node* parent)
{
    
    
	Node* subR = parent->right;
	Node* subRL = subR->left;

	parent->right = subRL;
	if (subRL)
		subRL->parent = parent;

	subR->left = parent;

	Node* pparent = parent->parent;
	subR->parent = pparent;
	parent->parent = subR;

	if (nullptr == pparent)
		_root = subR;
	else
	{
    
    
		if (parent == pparent->left)
			pparent->left = subR;
		else
			pparent->right = subR;
	}

	parent->bf = subR->bf = 0;
}

4.3 先左单旋再右单旋

新节点插入较高左子树的右侧。
在这里插入图片描述
将双旋变成单旋后再旋转，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再考虑平衡因子的更新。

// 旋转之前，60的平衡因子可能是-1/0/1，旋转完成之后，根据情况对其他节点的平衡因子进行调整
void RotateLR(Node* parent)
{
    
    
	Node* subL = parent->left;
	Node* subLR = subL->right;
	// 旋转之前，保存subLR的平衡因子，旋转完成之后，需要根据该平衡因子来调整其他节点的平衡因子
	int bf = subLR->bf;
	
	// 先对30进行左单旋
	RotateLeft(parent->left);
	// 再对90进行右单旋
	RotateRight(parent);

	if (1 == bf)
		subL->bf = -1;
	else if (-1 == bf)
		parent->bf = 1;
}

4.4 先右单旋再左单旋

新节点插入较高右子树的左侧。
在这里插入图片描述
情况参考先左单旋再右单旋。

void RotateRL(Node* parent)
{
    
    
	RotateRight(parent->right);
	RotateLeft(parent);
}

5.AVL树的验证

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：

验证其为二叉搜索树
如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树。

void _InOrder(Node* root)
{
    
    
	if (root)
	{
    
    
		_InOrder(root->left);
		cout << root->data << " ";
		_InOrder(root->right);
	}
}

验证其为平衡树
每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)；节点的平衡因子是否计算正确。

int _Height(Node* root)
{
    
    
	if (nullptr == root)
		return 0;

	int leftHeight = _Height(root->left);
	int rightHeight = _Height(root->right);
	return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}

bool _IsBalanceTree(Node* root)
{
    
    
	if (nullptr == root)
		return true;
	int leftHeight = _Height(root->left);
	int rightHeight = _Height(root->right);
	if (abs(root->bf) > 1 || (rightHeight - leftHeight != root->bf))
	{
    
    
		cout << root->data << ":" << root->bf << endl;
		return false;
	}

	return _IsBalanceTree(root->left) && _IsBalanceTree(root->right);
}

6.AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即log2N。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。

图文详解AVL树

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