数学+凸包brz的序列

解题思路

补题，这个博客说的好：

简化题意：多次操作使一个数变成旁边两个数的平均值，求序列中数字和最小是多少。
可以发现当一段区间变成等差数列后就不能再进行修改了。
问题变为选定若干等差数列的首项末项，使数列和最小。
又注意到一段区间能变成等差数列当且仅当这段区间除了首项末项以外的数都比变成等差数列后对应位置上的数大。
于是可以转化问题，有 nnn 个点，坐标分别为 (i,ai)(i,a_i)(i,ai)。
把一个区间覆盖成等差数列相当于在首尾的点之间连线。
发现要求的实际上就是这些点的下凸壳。

所以题目就是求下凸包，之后根据顶点数组进行求和就行。

参考代码

第一次用了下求凸包的模板，啊妙啊~

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LOCAL  //提交的时候一定注释
#define _for(i, a, b) for(int i = (a); i < (b); ++i)
#define _rep(i, a, b) for(int i = (a); i <= (b); ++i)
#define pb push_back
#define VI vector<int>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define mp make_pair
#define lowbit(x) ((x) & (-x))
typedef long long LL;
typedef double db;
const db eps = 1e-8;  //定义浮点数误差
const int MOD = 998244353;
const int maxn = 1e6 + 10;

int readint(){
    
    
    int x; scanf("%d", &x); return x;
}

int sgn(db x) {
    
      //判断浮点数是否为0，为0时返回0
    if (fabs(x) < eps) return 0;
    return x < 0 ? -1 : 1;
}

struct point{
    
    
    db x, y;
    int pos;
    point operator + (point B) {
    
    return point{
    
    x + B.x, y + B.y};}
    point operator - (point B) {
    
    return point{
    
    x - B.x, y - B.y};}
    bool operator == (point B) {
    
    return sgn(x - B.x) == 0 && sgn(y - B.y) == 0;}
    bool operator < (point B) {
    
      //用于sort排序
        return sgn(x - B.x) < 0 || (sgn(x - B.x) == 0 && sgn(y - B.y) < 0);
    }
}p[maxn], ch[maxn];

db cross(point A, point B) {
    
    return A.x * B.y - A.y * B.x;}//求×积
db distance(point A, point B) {
    
    return hypot(A.x - B.x, A.y - B.y);}
//求凸包，凸包顶点放在ch中，返回值为顶点数
int convex_hull(point *p, int n, point *ch) {
    
    
    sort(p, p + n);  //排序
    n = unique(p, p + n) - p;  //清除重复元素
    int v = 0;
    //求下凸包
    _for(i, 0, n) {
    
    
        while (v > 1 && sgn(cross(ch[v - 1] - ch[v - 2], p[i] - ch[v - 2])) < 0)
            v--;
        ch[v++] = p[i];
    }
    return v;
}

int main() {
    
    
#ifdef LOCAL
    freopen("input.txt", "r", stdin);
//    freopen("output.txt", "w", stdout);
#endif
    int n; db h;
    scanf("%d", &n);
    _for(i, 0, n) {
    
    
        scanf("%lf", &h);
        p[i] = point{
    
    i * 1.0, h, i};
    }
    int v = convex_hull(p, n, ch);  //下凸包顶点数
    db ans = ch[0].y;
    _for(i, 1, v) {
    
    
        ans += ch[i].y + (ch[i].y + ch[i - 1].y) / 2 * (ch[i].pos - ch[i - 1].pos - 1);
    }
    printf("%.10f", ans);cpp
    return 0;
}