习题课1-3
等式
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第一行整数T，表示数据组数
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接下来会有T组数据，对于每组数据
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第一行是两个整数n,m，表示变量个数和约束条件个数
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接下来m行，每行三个整数a,b,e，表示第a个变量的和第b个变量的关系
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若e=0则表示第a个变量不等于第b个变量
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若e=1则表示第a个变量等于第b个变量
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并查集（union-find）
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将两个元素所在集合合并起来
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查询两个元素是否在同一个集合中
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注意e=1的操作要在e=0的操作之前
解法1
- 第i个元素所在集合ID(i)
- 把=1的条件提到前面来，相当于对约束条件排序
- 每次执行e=1时，若相应的两个元素为a和b，那么将所有满足ID©==ID(a)或者ID©==ID(b)的元素合并起来，也就是令所有ID©==ID(a)
- 之后执行e=0时，若相应的两个元素a和b有ID(a)==ID(b)，则不合法，否则合法
- 时间复杂度O(nm)
解法1+
- set(i)表示编号为i的集合
- 对于操作=1
- 若set(id(a))的集合大小大于set(id(b))，交换a和b
- set(id(b))的集合大小等于set(id(b))&(并)set(id(a)) (意思让b是a和b的并集)，并且对于任意x属于set(id(a))，让id(x)等于id(b)
- 白话意思就是小集合一个个拿出来加到大集合里面(启发式合并)
- 用一个变长数组保存
- C++：std::vector
- java：ArrayList
- python：list()
解法2
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路径压缩和启发式合并
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Father：每个节点的父亲，路径压缩的
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Rank：节点的秩，用来启发式合并的
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首先要排序，把所有等于1的操作换到前面来
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int cnt = 0; // 把操作等于0的操作滞后，也可以把操作等于1的操作提前 for (int i = 0; i < (m-cnt); i++) { if (E.get(i) ==0){ while( E.get(m-1-cnt)==0 && (m-1-cnt)>i){ cnt++; } Collections.swap(A,i,m-1-cnt); Collections.swap(B,i,m-1-cnt); Collections.swap(E,i,m-1-cnt); } } -
先找出A、B两个集合的根，路径压缩，（路径压缩，在往上寻找父亲节点的时候，把所有经过的节点都变成根节点（最早的祖先））
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对于0操作，如果相等，则返回NO，因为此时已经执行完1操作，已经保存好完整的并查集关系
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对于1操作，如果不相等，此时需要合并，father数组用于寻找根节点，rank表示并查集曾经达到的最大深度，
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for (int i = 0; i < m; i++) { int setA = find(A.get(i)); int setB = find(B.get(i)); if (E.get(i) == 0){ if (setA==setB) { return "No"; } }else{ if (setA!=setB){ // 让B作为A的父节点 // 启发式合并 if (rank[setA]>rank[setB]){ int tmp = setA; setA = setB; setB = tmp; } father[setA] = setB; if (rank[setA]==rank[setB]){ rank[setB]++; } } } }
道路升级
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从图中选出任意条边，使得任意两点都互相连通
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并且任意两点的路径连起来的边权是最大的
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最后希望选出的边数尽可能少
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连通图（任意两点都可以互相连通）肯定有生成树，一定有最大生成树
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任何不在最大生成树上的边，加入其他的边，都不会导致连通路径的边权变得更大，所以可以丢弃
解法1
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kruskal算法
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按边权大小从大到小排列，依次加入图中，用并查集维护连通性
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disjoint（并查集英文名称）
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没有用启发式合并，只用了路径压缩
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static class UnionSet { int[] f; void init(int n){ f = new int[n+1]; for (int i = 1; i <= n; i++) { f[i] = i; rank[i] = 0; } } int find(int x){ return f[x]==x?x:(f[x]=find(f[x])); } boolean merge(int x,int y){ // 需要操作父亲节点，不然会丢失节点 int setX = find(x); int setY = find(y); if (setX!=setY){ f[setX] = setY; return true; } return false; } } -
初始化并查集
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怎样循环？逆序循环，因为权值是从小到达排列的，然后合并，如果合并成功，就把这条边加入
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最后reverse边的集合，因为答案是正序输出的
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if（find(x)!=find(y))
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father(y) = father(x)
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这种写法会丢失x以上的父节点关系，所以是错误的
二叉查找树
- 维护一个整数集合（数字可重复）
- 插入一个数字
- 删除一个数字
- 查询某个数字有多少个
- 查询最值
- 查询某个数字的前驱
问题分析
- 可用二叉树解决，为了保证时间复杂度，我们得使用平衡二叉树解决
- BBST有很多种，Treap、Splay、红黑树、AVL、SBT
- 推荐Treap（更优先）和Splay，前者好写速度快，后者好写功能强大
解法1
- c++的std::multiset
- java的TreeSet
- python的set()，需自己加点操作使得可重复
- [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-YdMXruPo-1605228918387)(C:\Users\liusiping\AppData\Roaming\Typora\typora-user-images\image-20201111215106943.png)]
- 1：插入一个数字
- 2：删除一个数字
- 3：输出这个数字有多少个
- [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-XAnL8VP6-1605228918388)(C:\Users\liusiping\AppData\Roaming\Typora\typora-user-images\image-20201111215251113.png)]
- 4：获取最小元素
- 5：查询某个数字的前驱，（lower_bound，二分查找）
- 找出它前面一个，找不到就输出None
- 百度：平衡树模板