离散化 是把无限空间中有限的个体映射到有限的空间中去,以此提高算法的时空效率。通俗的说,离散化是在不改变数据相对大小的条件下,对数据进行相应的缩小。
看一个例子:
AcWing 802. 区间和
假定有一个无限长的数轴,数轴上每个坐标上的数都是0。
现在,我们首先进行 n 次操作,每次操作将某一位置x上的数加c。
接下来,进行 m 次询问,每个询问包含两个整数l和r,你需要求出在区间[l, r]之间的所有数的和。
(-1e9 <= x,l,r <= 1e9, 1 <= n,m <= 1e5, -1e4 <= c <= 1e4)
做法:
可以看出,我们不能简单的将坐标作为数组下标,因为坐标的范围很大,数组开不了这么大,但是我们发现尽管坐标的范围非常大,但是用到的坐标是有限个的,因为最多只有(m+n)次询问,就算每次询问都会用到一个不同的坐标,最多会有3e5个不同的坐标被用到,这个范围是可以接受的
所以做法就是 将坐标离散化,最后用前缀和处理一遍,输出答案
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<map>
#include<set>
#include<stack>
#include<queue>
#include<string>
#include<vector>
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define up_b upper_bound
#define low_b lower_bound
#define m_p make_pair
#define mem(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define IOS ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0)
#define inf 0x3f3f3f3f
#define endl '\n'
#include<algorithm>
using namespace std;
inline ll read()
{
ll x=0,f=1; char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9') {
if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }
while('0'<=ch&&ch<='9') x=x*10+ch-'0', ch=getchar();
return f*x;
}
const int maxn = 3e5+5;
int n,m;
int a[maxn],s[maxn];
vector<int> alls;//存放待离散化的坐标
vector<pair<int,int> > add,query;//存放添加操作与询问操作
int find(int x)//查找坐标x离散化后对应的数组下标
{
int l=-1,r=alls.size();
while(l+1!=r)//二分查找
{
int mid=l+r>>1;
if(alls[mid]>=x) r=mid;
else l=mid;
}
return r+1;//将x映射到1,2...n
// 如果 return r; 是映射到 0,1,2...
}
int main()
{
cin>>n>>m;
//先将所有用到的坐标存进去
for(int i=0;i<n;i++)
{
int x,c;
cin>>x>>c;
alls.push_back(x);
add.push_back(m_p(x,c));
}
for(int i=0;i<m;i++)
{
int l,r;
cin>>l>>r;
alls.push_back(l); alls.push_back(r);
query.push_back(m_p(l,r));
}
// 排序 + 去重
sort(alls.begin(),alls.end());
alls.erase(unique(alls.begin(),alls.end()),alls.end());
//处理添加操作
for(int i=0;i<n;i++)
{
int pos=find(add[i].first);
a[pos]+=add[i].second;
}
//对数组a进行前缀和处理
for(int i=1;i<=alls.size();i++) s[i]=s[i-1]+a[i];
//处理查询操作
for(int i=0;i<m;i++)
{
int l=find(query[i].first), r=find(query[i].second);
cout<<s[r]-s[l-1]<<endl;
}
return 0;
}
y总的离散化模版:
vector<int> alls; // 存储所有待离散化的值
sort(alls.begin(), alls.end()); // 将所有值排序
alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end()); // 去掉重复元素
// 二分求出x对应的离散化的值
int find(int x) // 找到第一个大于等于x的位置
{
int l = 0, r = alls.size() - 1;
while (l < r)
{
int mid = l + r >> 1;
if (alls[mid] >= x) r = mid;
else l = mid + 1;
}
return r + 1; // 映射到1, 2, ...n
}
作者:yxc
来源:AcWing