Codeforces Round #702 (Div. 3) G. Old Floppy Drive
题意
给定一个包含 n n n个整数的数组 { a } \{a\} { a},可以循环延申至无穷个元素(定义编号 n n n的后一个元素为编号 1 1 1)
再给定 m m m个询问 x x x,对于每个 x x x
问无穷数组 { a } \{a\} { a}的前缀和数组 { S } \{S\} { S}中,第一次出现 S i ≥ x S_i\ge x Si≥x的下标 i i i是多少(输出时下标要 − 1 -1 −1)
若不存在,输出 − 1 -1 −1
限制
1 ≤ T ≤ 1 0 4 1\le T\le 10^4 1≤T≤104
1 ≤ n , m ≤ 2 ⋅ 1 0 5 1\le n,m\le 2\cdot 10^5 1≤n,m≤2⋅105
− 1 0 9 ≤ a i ≤ 1 0 9 -10^9\le a_i\le 10^9 −109≤ai≤109
1 ≤ x i ≤ 1 0 9 1\le x_i\le 10^9 1≤xi≤109
∑ n ≤ 2 ⋅ 1 0 5 , ∑ m ≤ 2 ⋅ 1 0 5 \sum n\le 2\cdot 10^5,\ \sum m\le 2\cdot 10^5 ∑n≤2⋅105, ∑m≤2⋅105
思路
注意求的是第一次出现 a i ≥ x a_i\ge x ai≥x的下标 i i i,不是 a i = x a_i=x ai=x(读错题了,可惜)
记 S k = ∑ i = 1 k a i , M k = max i = 1 k S i S_k=\sum_{i=1}^k a_i,\ M_k=\max_{i=1}^k S_i Sk=∑i=1kai, Mk=maxi=1kSi
根据 { M } \{M\} { M}的定义
如果 M n ≥ x M_n\ge x Mn≥x,说明答案存在于 1 1 1到 n n n之间
又因为 { M } \{M\} { M}是非递减数组,所以可以通过二分查找来直接找到最小下标
否则,对 S n S_n Sn的正负性质进行讨论
- 如果 S n ≤ 0 S_n\le 0 Sn≤0,又因为此时 M n < x M_n\lt x Mn<x,所以不存在任何一种状态满足 S i ≥ x S_i\ge x Si≥x,故输出 − 1 -1 −1
- 如果 S n > 0 S_n\gt 0 Sn>0,
根据题意, S i + n = S i + S n S_{i+n}=S_i+S_n Si+n=Si+Sn
定义 d = x − M n d=x-M_n d=x−Mn,表示询问的值与 1 1 1到 n n n中所能得到最大的值的差值
于是发现,要想得到大于等于 x x x的数, 1 1 1到 n n n中的最大值 M n M_n Mn还需要加上 ⌈ d S n ⌉ \lceil\frac d {S_n}\rceil ⌈Snd⌉遍 S n S_n Sn才行
据上述,得到 M n + ⌈ d S n ⌉ ∗ S n ≥ x M_n+\lceil\frac d {S_n}\rceil*S_n\ge x Mn+⌈Snd⌉∗Sn≥x
即 M n ≥ x − ⌈ d S n ⌉ ∗ S n M_n\ge x-\lceil\frac d {S_n}\rceil*S_n Mn≥x−⌈Snd⌉∗Sn
故让 x x x减去 ⌈ d S n ⌉ ∗ S n \lceil\frac d {S_n}\rceil*S_n ⌈Snd⌉∗Sn后,便能通过二分查找来直接找到最小下标,最后将下标加上 ⌈ d S n ⌉ ∗ n \lceil\frac d {S_n}\rceil*n ⌈Snd⌉∗n即为答案
代码
(202ms/2000ms)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll mx[200050];
void solve()
{
int n,m;
cin>>n>>m;
ll s=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
ll d;
cin>>d;
s+=d;
mx[i]=max(mx[i-1],s);
}
while(m--)
{
ll q;
cin>>q;
if(mx[n]>=q)
cout<<(lower_bound(mx+1,mx+1+n,q)-mx)-1<<' ';
else
{
if(s<=0)
cout<<"-1 ";
else
{
ll d=q-mx[n];
ll tim=(d+s-1)/s;
q-=tim*s;
cout<<(lower_bound(mx+1,mx+1+n,q)-mx+tim*n)-1<<' ';
}
}
}
cout<<'\n';
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);cout.tie(0);
int T;cin>>T;while(T--)
solve();
return 0;
}