第一节 Dynamic Programming

1、定义

• 1、问题目标
• 2、状态的定义 opt[n]
• 3、状态转移方程: opt[n]=best_of(opt[n-1],opt[n-2],…)

2、问题1：最大子序和

给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

代码

def maxSubArray(nums):
    if len(nums)==1:
        return nums[0]
    max_ret=nums[0]
    cur_max=last_max=nums[0]
    for i in range(1,len(nums)):
        if last_max+nums[i]<nums[i]:
            cur_max=nums[i]
        else:
            cur_max=last_max+nums[i]
        if cur_max> max_ret:
            max_ret=cur_max
        last_max=cur_max
    return max_ret

a=maxSubArray([1,-1,4,-3,5])
print(a)

3、问题2：最大上升子序列

• L(j):在j位置，以这个位置得元素结尾的最长的字串是多少。
• 筛选条件1：前面的值比他小的
• 筛选条件2：最大的L(j)
• 将比它小的L(j) 再加1，为当前最大上升子序列

代码

def Lenghth(num):
    if len(num)<=1:
        return len(num)
    mem=[1 for _ in range(len(num))]
    print("mem:",mem)
    for j in range(1,len(num)):
        for i in range(0,j):
            if num[i]<num[j]:
            	#每次对于j前面的元素，对比它的最长子序列和当前最长的子序列，选择最大的
                mem[j]=max(mem[j],mem[i]+1)#保存每个位置最长的上升子序列
    return max(mem)

# a=maxSubArray([3,4,5,-15,-3])
a=Lenghth([1,3,2,5,1,6])
print(a)

4、问题3：零钱兑换

代码

def coinChange(coins,amount):
    if amount==0:
        return 0
    if len(coins)==0:
        return -1
    if len(coins)==1 and coins[0]>amount:
        return -1
    mem=[-1 for _ in range(amount+1)]
    mem[0]=0
    for i in range(1,amount+1):
        cur_min=amount+1
        for c in coins:
            if c<=i:
                cur_min=mem[i-c] if mem[i-c]<cur_min else cur_min
        mem[i]=cur_min+1 if cur_min<amount+1 else amount+1
    if mem[-1]== amount+1:
        return -1
    else:
        return mem[-1]
a=coinChange([1,7,8,9],14)
print(a)

5、问题5：0-1背包问题

代码

def knapsack(w,v,c):
    mem=np.zeros((len(w)+1,c+1))#定义存储空间并初始化
    for i in range(1,len(w+1)):
        for j in range(1,c+1):
            if w[i-1]<=j:
                mem[i,j]=max(mem[i,j],mem[i-1,j],mem[i-1,j-w[i-1]]+v[i-1])
            else:
                mem[i,j]=mem[i-1,j]
    return mem

6、问题6：编辑距离