循环群：一个元素不断作用生成的群
例子：
< N 4 , + 4 > 是 以 1 为 生 成 元 的 循 环 群 因 为 2 = 1 + 1 4 = 1 2 3 = 1 + 1 4 + 1 4 = 1 3 0 = 2 + 2 4 = 1 4 < N 4 , + 4 > = { 1 4 , 1 ， 1 2 ， 1 3 } \color{blue} <N_4,+_4>是以1为生成元的循环群\\ 因为2=1+1_4=1^2\\3=1+1_4+1_4=1^3\\0=2+2_4=1^4\\ <N_4,+_4>=\{ 1^4,1，1^2，1^3\} <N4,+4>是以1为生成元的循环群因为2=1+14=123=1+14+14=130=2+24=14<N4,+4>={
14,1，12，13}
< N , + > = { … … 1 − 3 , 1 − 2 , 1 − 1 , 0 , 1 ， 1 2 ， 1 3 … … } = { … … ( − 1 ) 3 , ( − 1 ) 2 , ( − 1 ) 1 , 0 , ( − 1 ) − 1 ， ( − 1 ) − 2 ， ( − 1 ) − 3 … … } \color{red} <N,+>=\{ ……1^{-3},1^{-2},1^{-1},0,1，1^2，1^3……\}\\= \{ ……(-1)^{3},(-1)^{2},(-1)^{1},0,(-1)^{-1}，(-1)^{-2}，(-1)^{-3}……\} <N,+>={ ……1−3,1−2,1−1,0,1，12，13……}={ ……(−1)3,(−1)2,(−1)1,0,(−1)−1，(−1)−2，(−1)−3……}
定义：
< G , ∗ > 为 群 ， ∃ g ∈ G , ∀ x ∈ G , ∃ i ∈ N , s . t . x = g i , 并 称 g 为 G 的 生 成 元 <G,*>为群，\exists g\in G,\forall x\in G,\exists i\in N,s.t. \ \ x=g^i ,并称g为G的生成元 <G,∗>为群，∃g∈G,∀x∈G,∃i∈N,s.t. x=gi,并称g为G的生成元
类别：
根 据 g 的 阶 分 类 { n 阶 循 环 群 ( 循 环 周 期 为 n ) ： G = { g 1 , g 2 , … … ， g n = e } 无 限 循 环 群 ( 循 环 周 期 是 无 限 的 ) ： G = { … … g − 2 , g − 1 , g 0 = e , g 1 , g 2 , … … } 根据g的阶分类 \left\{\begin{matrix} n阶循环群(循环周期为n)：G=\{ g^1,g^2,……，g^n=e \}\\ 无限循环群(\tiny 循环周期是无限的\normalsize )：G=\{……g^{-2},g^{-1}, g^0=e,g^1,g^2,…… \} \end{matrix}\right. 根据g的阶分类{ n阶循环群(循环周期为n)：G={ g1,g2,……，gn=e}无限循环群(循环周期是无限的)：G={ ……g−2,g−1,g0=e,g1,g2,……}
对于有限循环群 |G|=n当且仅当|g|=n
证 明 { 必 要 性 ： 已 知 ∣ G ∣ = n , 设 ∣ g ∣ = m ， 由 拉 格 朗 日 定 理 n = k ∗ m , 所 以 m ≤ n , 设 a ∈ G , a = g s s = m g + r ( 带 余 除 法 ) ， a = g s = g r , 由 此 G 中 最 多 有 m 个 元 素 ， ∣ G ∣ = n ≤ m ， 矛 盾 充 分 性 ： 已 知 ∣ g ∣ = n , ∀ a ∈ G , a = g k = g n ∗ q + r = g r 因 而 G 中 最 多 有 n 个 元 素 ， ∣ G ∣ ≤ n 下 面 证 G 中 的 元 素 不 同 ， 若 存 在 1 ≤ i < j ≤ n , g i = g j , 则 g j − i = g j ∗ g ( − 1 ) i = g j ∗ ( g i ) − 1 = e 则 G 的 阶 数 由 n 变 为 了 j − i 所 以 G 中 的 元 素 互 不 相 同 ∣ G ∣ = n \mathrm{证明}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{必要性}：\mathrm{已知}\vert G\vert=n,设\vert g\vert=m，\mathrm{由拉格朗日定理}n=k\ast m,\mathrm{所以}m\leq n,设a\in G,a=g^s\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;s=mg+r(\mathrm{带余除法})，a=g^s=g^r,\mathrm{由此}G\mathrm{中最多有}m\mathrm{个元素}，\vert G\vert=n\leq m，\mathrm{矛盾}\\\mathrm{充分性}：\mathrm{已知}\vert g\vert=n,\forall a\in G,a=g^k=g^{n\ast q+r}=g^r\mathrm{因而}G\mathrm{中最多有}n\mathrm{个元素}，\vert G\vert\leq n\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm{下面证}G\mathrm{中的元素不同}，\mathrm{若存在}1\leq i<j\leq n,g^i=g^j,则g^{j-i}=g^j\ast g^{(-1)i}=g^j\ast{(g^i)}^{-1}=e\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;则G\mathrm{的阶数由}n\mathrm{变为了}j-i\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm{所以}G\mathrm{中的元素互不相同}\vert G\vert=n\end{array}\right. 证明⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧必要性：已知∣G∣=n,设∣g∣=m，由拉格朗日定理n=k∗m,所以m≤n,设a∈G,a=gss=mg+r(带余除法)，a=gs=gr,由此G中最多有m个元素，∣G∣=n≤m，矛盾充分性：已知∣g∣=n,∀a∈G,a=gk=gn∗q+r=gr因而G中最多有n个元素，∣G∣≤n下面证G中的元素不同，若存在1≤i<j≤n,gi=gj,则gj−i=gj∗g(−1)i=gj∗(gi)−1=e则G的阶数由n变为了j−i所以G中的元素互不相同∣G∣=n
生成元g与g的个数
{ 无 限 循 环 群 ： G 有 两 个 生 成 元 g 与 g − 1 n 阶 循 环 群 ： 有 Φ ( n ) 个 生 成 元 （ Φ ( n ) 为 欧 拉 函 数 ， 为 小 于 等 于 n 与 n 互 素 的 整 数 的 个 数 ） \left\{\begin{array}{l}\mathrm{无限循环群}：G\mathrm{有两个生成元}g与g^{-1}\\n\mathrm{阶循环群}：有\Phi(n)\mathrm{个生成元}（\Phi(n)\mathrm{为欧拉函数}，\mathrm{为小于等于}n与n\mathrm{互素的整数的个数}）\end{array}\right. { 无限循环群：G有两个生成元g与g−1n阶循环群：有Φ(n)个生成元（Φ(n)为欧拉函数，为小于等于n与n互素的整数的个数）
循环群的子群
循 环 群 的 子 群 仍 是 循 环 群 { 无 限 循 环 群 的 子 群 除 了 < { e } , ∗ > 外 都 是 无 限 的 n 阶 循 环 群 ， 对 于 n 的 每 个 正 因 子 d , 恰 好 有 一 个 d 阶 子 群 \begin{array}{l}\mathrm{循环群的子群仍是循环群}\\\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{无限循环群的子群除了}<\{e\},\ast>\mathrm{外都是无限的}\\n\mathrm{阶循环群}，\mathrm{对于}n\mathrm{的每个正因子}d,\mathrm{恰好有一个}d\mathrm{阶子群}\end{array}\right. 循环群的子群仍是循环群{ 无限循环群的子群除了<{ e},∗>外都是无限的n阶循环群，对于n的每个正因子d,恰好有一个d阶子群
素数阶群一定是 循环 群，它的生成元是 任一非单位元
证明如下:任一元素的阶整除群的阶。现在群的阶是素数p,所以元素的阶要么是1要么是p.
G中只有一个单位元，其它元素的阶都不等于1,所以都是p。
任取一个非单位元，它的阶等于p,所以它生成的G的循环子群的阶也是p,从而等于整个群G。所以G等于它的任一非单位元生成的循环群