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无符号整数 Unsigned Integer

​ 设 $X$ 是一个 $N$ 位无符号二进制数，其范围为 $[0,2^N-1]$ ，表示方法如下：
$$X=\sum _{n=0}^{N-1}{x}_n{2}^n$$
​ 其中 $x_n$ 是 $X$ 的第 $N$ 位二进制数字（也就是 $x_n\in [0,1]$）。数字 $x_0$ 被称作最低有效位（Least Significant Bit，LSB），具有相当于个位的权重。数字 $x_{n-1}$ 就是最高有效位（Most Significant Bit，MSB）。具有相当于 $2^{N-1}$ 的权重。

有符号数值 Signed-Magnitude，SM

​ $N$ 位有符号整数中的第一位（即MSB）代表符号，余下的 $N-1$ 位代表数值。范围为 $[-(2^{N-1}-1),2^{N-1}-1]$.

• 优点：有助于防止溢出。
• 缺点：加法需要根据哪一个操作数更大分开运算。

二进制补码 Two’s Complement，2C

​ 最为流行的有符号数字系统，$N$ 位二进制补码的表达范围为 $[-2^{N-1},2^{N-1}-1]$ ，溢出可以忽略

例如，计算 $3-2$ 的值时

不难看出这时溢出可以忽略。

​ 二进制补码还可以用来实现模 $2^N$ 算法而不需要在算法中做任何改动（应用于设计CIC滤波器）.

二进制反码 One’s Complement， 1C

​ $N$ 位二进制反码表达范围为 $[-(2^{N-1}+1),2^{N-1}-1]$ , $0$ 有正零和负零两种冗余的表达。

​ 如图，二进制反码在运算中需要“进位回绕（carry wrap-around）”加法。但是其可以有效的实现模 $2^N-1$ 运算，而且不需要矫正，在实现特殊算法（如整数环上的Mersenne变换）时有特殊价值.

减一系统 Diminished one System，D1

​ 减一系统是一种有偏差的系统，正整数与二进制补码相比减少了1。 $N-1$ 位 D1 数值的范围是 $[-2^{N-1},2^{N-1}]$（不含0）. D1的编码规则如下：
$$X=\{\begin{array}{ll}\sum _{n=0}^{N-2}{x}_n{2}^n+1& X\ge 0\\ -2^{N-1}+\sum _{n=0}^{N-2}{x}_n{2}^n& X>0\\ 2^N& X=0\end{array}$$

​ 为方便理解，下表为3位D1编码的例子：

下面是两个D1数值相加运算的例子：

​

​ 从上面的例子看出 D1 必须计算补码和反向进位的加法。D1数值不需要在算法上做出任何改动就能有效实现模 $2^N+1$ 运算（例如实现费尔马Network Transfer Table，NTT）.

偏差系统 Bias System

​ 偏差系统对所有数都有一个偏差（bias），通常$bias=2^{N-1}-1$ ，$N$ 位偏差数的范围是 $[-2^{N-1}-1,2^{N-1}]$，0 就被编码为 $bias$ 的值。定义如下：
$$X=\sum _{n=0}^{N-1}{x}_n{2}^n-bias$$

偏差系统加法实例：

​ 对于加法，每次运算都要减掉偏差，对于减法，每次运算都要加上偏差。偏差能够简化数值的比较，可以用于对浮点数指数的编码中.

参考文献：Digital Signal Processing with Field Programmable Gate Arrays --U.Meyer-Baese