问题：有 N 件物品和一个最多能承受重量为 W 的背包。第 i 件物品的重量为weight[i]，得到的价值是value[i]。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包后物品的价值总和最大。
例题：
这个题目中的物品不可以分割，要么装进包里，要么不装，不能说切成两块装一半。这也许就是 0-1 背包这个名词的来历。
动规标准套路
第一步要明确两点，「状态」和「选择」。
先说状态，如何才能描述一个问题局面？只要给定几个可选物品和一个背包的容量限制，就形成了一个背包问题，对不对？所以状态有两个，就是「背包的容量」和「可选择的物品」。
再说选择，也很容易想到啊，对于每件物品，你能选择什么？选择就是「装进背包」或者「不装进背包」嘛。
明白了状态和选择，动态规划问题基本上就解决了，只要往这个框架套就完事儿了：
for 状态1 in 状态1的所有取值：
for 状态2 in 状态2的所有取值：
for ...
dp[状态1][状态2][...] = 择优(选择1，选择2...)
第二步要明确dp数组的定义。
dp数组是什么？其实就是描述问题局面的一个数组。换句话说，我们刚才明确问题有什么「状态」，现在需要用dp数组把状态表示出来。
首先看看刚才找到的「状态」，有两个，也就是说我们需要一个二维dp数组，一维表示可选择的物品，一维表示背包的容量。
dp[i][j]的定义如下：对于前i个物品，当前背包的容量为j，这种情况下可以装的最大价值是dp[i][j]。
比如说，如果 dp[3][5] = 6，其含义为：对于给定的一系列物品中，若只对前 3 个物品进行选择，当背包容量为 5 时，最多可以装下的价值为 6。
PS：为什么要这么定义？便于状态转移，或者说这就是套路，记下来就行了。
根据这个定义，我们想求的最终答案就是dp[N][W]。初始化就是dp[0][…] = dp[…][0] = 0，因为没有物品或者背包没有空间的时候，能装的最大价值就是 0。
细化上面的框架：
int dp[N+1][W+1]
dp[0][..] = 0
dp[..][0] = 0
for i in [1..N]:
for w in [1..W]:
dp[i][w] = max(
把物品 i 装进背包,
不把物品 i 装进背包
)
return dp[N][W]
第三步，根据「选择」，思考状态转移的逻辑。
简单说就是，上面伪码中「把物品i装进背包」和「不把物品i装进背包」怎么用代码体现出来呢？
这一步要结合对dp数组的定义和我们的算法逻辑来分析：
先重申一下刚才我们的dp数组的定义：
dp[i][j]表示：对于前i个物品，当前背包的容量为j时，这种情况下可以装下的最大价值是dp[i][j]。
如果你没有把这第i个物品装入背包，那么很显然，最大价值dp[i][j]应该等于dp[i-1][j]。你不装嘛，那就继承之前的结果。
如果你把这第i个物品装入了背包，那么dp[i][j]应该等于dp[i-1][j-weight[i-1]] + value[i-1]。
首先，由于i是从 1 开始的，所以对value和weight的取值是i-1。
而dp[i-1][j-weight[i-1]]也很好理解：你如果想装第i个物品，你怎么计算这时候的最大价值？换句话说，在装第i个物品的前提下，背包能装的最大价值是多少？
显然，你应该寻求剩余重量j-weight[i-1]限制下能装的最大价值，加上第i个物品的价值value[i-1]，这就是装第i个物品的前提下，背包可以装的最大价值。
综上就是两种选择，我们都已经分析完毕，也就是写出来了状态转移方程，可以进一步细化代码：
for i in [1..N]:
for w in [1..W]:
dp[i][w] = max(
dp[i-1][w],
dp[i-1][w - weight[i-1]] + value[i-1]
)
return dp[N][W]
最后一步，把伪码翻译成代码，处理一些边界情况。
用 Java 写的代码，把上面的思路完全翻译了一遍，并且处理了j - weight[i-1]可能小于 0 导致数组索引越界的问题：
public class BeiBao {
public static void main(String[] args) {
int[] weight = {
1, 3, 4};
int[] value = {
15, 20, 30};
int bagWeight = 4;
int[][] dp = new int[weight.length + 1][bagWeight + 1];
for(int i = 1; i <= weight.length; i++){
for(int j = 1; j <= bagWeight; j++){
if(j < weight[i - 1]){
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
}else{
dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i - 1]] + value[i - 1]);
}
}
}
System.out.println(dp[weight.length][bagWeight]);
}
}
一维dp数组：
public class BeiBao {
public static void main(String[] args) {
int[] weight = {
1, 3, 4};
int[] value = {
15, 20, 30};
int bagWeight = 4;
int[] dp = new int[bagWeight + 1];
dp[0] = 0;
for(int i = 0; i < weight.length; i++){
for(int j = bagWeight; j >= 0; j--){
//每一个元素一定是不可重复放入，所以从大到小遍历
if(j >= weight[i]){
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
}
System.out.println(dp[bagWeight]);
}
}