题目1:
给定一个n个点m条边的连通图,保证没有自环和重边。对于每条边求出,在其他边权值不变的情况下,它能取的最大权值,使得这条边在连通图的所有最小生成树上。假如最大权值为无限大,则输出-1。
题解:
先求出图的一棵最小生成树:
对于不在树上的边(x,y), 它的权值只要小于树上x到y路径中任意一条边就可以代替这条边。
对于在树上的边(x,y),可以先预处理出所有两端在x到y路径上的不在树上的边的最小值。它的权值一定要小于最小值。
路径max和min都可以用倍增求。
时间复杂度O(nlogn)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2e5+5;
inline int read(){
int x=0,f=1;
char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){
if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(isdigit(ch)){
x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
int n,m,cnt=0,head[N];
int vis[N],ans[N];
int fa[N],dep[N],id[N];
int f[N][20],maxn[N][20];
struct data{
int x,y,dis,id;
}a[N];
struct Edge{
int v,w,nxt,id;
}edge[N<<1];
void add_edge(int u,int v,int w,int id){
edge[++cnt].v=v;edge[cnt].w=w;edge[cnt].id=id;edge[cnt].nxt=head[u];head[u]=cnt;
}
int find(int x){
if(fa[x]==x) return fa[x];
else return fa[x]=find(fa[x]);
}
bool cmp(data a,data b){
return a.dis<b.dis;
}
void build(){
sort(a+1,a+m+1,cmp);
for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
for(int i=1;i<=m;i++){
int x=a[i].x;
int y=a[i].y;
if(find(x)!=find(y)){
fa[find(x)]=find(y);
vis[a[i].id]=1;
add_edge(x,y,a[i].dis,a[i].id);
add_edge(y,x,a[i].dis,a[i].id);
}
}
}
void dfs(int u){
for(int i=1;i<=18;i++){
f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];
maxn[u][i]=max(maxn[u][i-1],maxn[f[u][i-1]][i-1]);
}
for(int i=head[u];i;i=edge[i].nxt){
int v=edge[i].v;
int w=edge[i].w;
if(v==f[u][0]) continue;
dep[v]=dep[u]+1;
id[v]=edge[i].id;
f[v][0]=u;
maxn[v][0]=w;
dfs(v);
}
}
void solve(int x,int y,int dis){
x=find(x);
while(dep[x]>dep[y]){
ans[id[x]]=min(ans[id[x]],dis-1);
int k=find(f[x][0]);
fa[x]=k;
x=find(x);
}
}
int get(int x,int y,int &lca){
int ans=0;
if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
for(int i=18;i>=0;i--)
if(dep[f[x][i]]>=dep[y]){
ans=max(ans,maxn[x][i]);
x=f[x][i];
}
if(x==y){
lca=x;
return ans;
}
for(int i=18;i>=0;i--){
if(f[x][i]!=f[y][i]){
ans=max(ans,maxn[x][i]);
ans=max(ans,maxn[y][i]);
x=f[x][i],y=f[y][i];
}
}
lca=f[x][0];
return max(ans,max(maxn[x][0],maxn[y][0]));
}
int main(){
n=read();m=read();
for(int i=1;i<=m;i++){
a[i].x=read();a[i].y=read();a[i].dis=read();
ans[i]=2e9; a[i].id=i;
}
build();dfs(1);
for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
for(int i=1;i<=m;i++){
if(!vis[a[i].id]){
int x=a[i].x,y=a[i].y,z;
ans[a[i].id]=get(x,y,z)-1;
solve(x,z,a[i].dis);
solve(y,z,a[i].dis);
}
}
for(int i=1;i<=m;i++){
if(ans[i]==2e9) printf("-1 ");
else printf("%d ",ans[i]);
}
}
题目2:
题解:
题目的操作其实可以看成给一条边权值加一
(u[lab],v[lab])这条边会被算到最小生成树里面,只有在权值小于等于它的边加完后,u[lab]和v[lab]不在一个连通块内。
我们把权值小于等于l[lab]的图建出来,现在问题变成,你可以用l[lab]−l[i]+1的代价砍掉一些边使得u[lab]和v[lab]不连通,最小割就好了。
题目3:
给定一个有n个点,m条边的无向连通图,每条边有边权。 定义一次操作为:选择一条图中的边,并将其权值+1。
试求最小的操作次数,使得操作后的图的最小生成树是唯一的。