2.2 定义中的省略

要注意包含省略（或是星号）的定义，因为它们包含着隐含的递归。

例如，

在第二个要素中，任意数量的W都是被允许的。如下是更加精确的定义：

像这样扩展后，我们可以发现证明W实例的时，必须相互证明Y的归纳要素。在实践中，Y的归纳要素通常很明显以至于我们经常省略，并专注于原始定义的证明。

定理 2.3 每一个W都包含 α

证明：

• 基本要素：

  • 要素 α

    论证成立

• 归纳要素：

  • 要素 (βW0W1 . . . Wn)

    每一个W_i 都包含 α ，每一个W都包含至少一个 W_i ，因此论证成立。

下述的定理也易证，并且不用重新扩展成互导形式。

定理 2.4 对于任意 W ，每一个 β 的前面都有一个圆括号

练习 2.2

证明定理 2.4

题解

• 基本要素：

  • 要素 α

    要素中不存在 β

• 归纳要素：

  • 要素 (βW0W1 . . . Wn)

    在 β 前有圆括号，且 W0 ~ Wn 中若存在 β ，β 前也有圆括号，因此论证仍然成立。

  证毕。

2.3 证明树中的归纳

下述的定义定义了集合
$$△P$$
读作“P 为Δ”（P is pointy）

一如往常，集合 ΔP 被定义为满足上述规则的最小集合。第一条规则定义了一个基本要素，第二个规则则为自指。

另一种定义 ΔP 这样的方法类似于证明树：

注意到 ΔP 出现在线的上方，线的底部有 ΔP 的 Δ证明树。这棵 Δ证明树 代表第二条自指定义。

这两种定义集合的方式同时定义了两个集合： 表明 ΔP 的集合以及 Δ证明树 的集合。
这两个集合都只是被递归定义的简单符号模式。

下为Δ证明树的例子：

现在我们可以写出有关于 ΔP 以及 Δ证明树 的证明：

定理 2.5 ： 如果 P集合为Δ， 则它的证明树中含有奇数个
$$△s$$
这个论证的证明集合证明 P 集合一样，用结构归纳法：

• 基本要素

  • 要素 Δα

    完整的树包含 Δα，一条线以及一个勾号，总共一个 Δα， 因此论证成立

• 归纳要素

  • 要素 Δ(P1 O･ P2)

    完整的树包含 Δ(P1 O･ P2)，加上 ΔP1 ΔP2 的树。在递归中，ΔP1 的树为 Δ(P1 O･ P2)树的子结构，其 Δs 的数量为奇数。 同样，ΔP2 的树 Δs 的数量为奇数。两个奇数相加得到偶数个 Δs。但是完整的 Δ(P1 O･ P2)树还要加上一个 Δs ，最终 Δs 的总数为奇数，论证仍然成立。