监督学习（三）：梯度提升树（GBDT）算法

  本文介绍了boosting族的提升树算法和梯度提升（GBDT）算法，GBDT算法常用来解决回归和分类问题，且泛化能力很强，本文深入浅出的总结了GBDT算法 。

1. 单决策树与提升树算法的不同

  决策树是单一学习器，提升树是以CART决策树为基本学习器的提升方法。本节从结果评价角度和损失函数角度去描述两者的不同。假设决策树的学习器模型是 f(x)，提升树共有K个弱学习器

，其中 i=1,2,…,K。

  （1）结果评价方法：
  对某一个输入数据xi

  决策树模型的输出结果 yi：

  提升树模型的输出结果 yi：
  若是回归：

  若是分类：

  其中，i 表示某一个弱学习器，T代表分类模型（如逻辑线性回归，或sign函数）

  （2）模型构建方法

  1）决策树模型构建方法
  决策树运用基尼指数来计算模型的损失函数，决策树生成阶段是最小化模型的损失函数，最大化决策树的深度；决策树剪枝阶段是采用正则化的损失函数来完成，最后通过交叉验证法选择最佳子树；

  2）提升树模型构建方法
  提升树是多个决策树组合为强学习器的提升方法，每个决策树的复杂度比单一决策树低得多，因此不能像单一决策树那样最大化决策树深度来最小化损失函数。决策树是boosting族的成员，弱学习器是串行迭代生成的，通过最小化每一步的弱学习器损失函数来构建提升树模型。

2. 提升树算法

  提升树算法的基本学习器是决策树，且提升树算法是加法模型，因此，提升树模型可以表示为：

其中，T(x;$\theta$m)表示决策树，$\theta$m表示决策树的参数，M为树的个数。

  提升树算法：
  提升树算法采用前向分布算法，假设初始提升树 fo(x)=0，第m步的模型是：

其中，fm-1(x) 为上一个模型，通过经验风险极小化确定当前模型的参数 $\theta$m ，

  其中L表示损失函数，fm-1(x) 和 yi为常数，由（1）式可知，我们只要知道损失函数L，我们就能得到每一轮的模型参数 $\theta$m ，也可以理解为用当前模型 T(Xi;$\theta$m) 去拟合上一轮模型的残差。因此，提升树算法原理是用当前的决策树去拟合上一轮的模型残差，使当前的损失函数值最小。

  【例】假如有个人30岁，我们首先用20岁去拟合发现损失有10岁，这时我们用6岁去拟合，这样迭代下去，直到损失函数达到我们的要求，这就是提升树的思想。

  大家有没有想过，为什么我们不直接去用30岁去拟合，这么做的步骤相当于最大化该决策树的深度，得到的模型不是一个弱分类器，导致过拟合问题的出现。

3. GBDT算法

  我们再次回顾上一节例题，如果我们首先用10岁去拟合发现损失有20岁，然后再用8岁去拟合损失有12岁，这样迭代下去，与上节达到相同的损失函数值则需要更多的迭代次数，这就是GBDT算法思想：用损失函数负梯度近似残差，回归树拟合负梯度得到本轮的最小损失函数。因为提升树是直接拟合残差，所以达到相同的损失函数值时，提升树需要的迭代步骤要小得多。

  步骤：
  （1）用损失函数的负梯度近似残差，表示为：

  （2） 回归树拟合负梯度，得到叶节点区域Rmj，j=1,2,…,J。其中J为叶节点个数，m为第m颗回归树。
  （3） 针对每一个叶子节点里的样本，我们求出使损失函数最小，得到拟合叶子节点最好的输出值Cmj，如下：

  （4）更新回归树模型：

  （5）得到最终的回归树模型：

  可能最难理解的是第三步，我们可以理解为在负梯度方向上去求模型最小化。负梯度方向理解成损失函数负梯度的回归树划分规则，用该规则去求损失函数最小化。

  假设损失函数曲线如下图：

  其中，m表示迭代次数，fm(xi) 表示共迭代m轮后的学习模型，L(yi,fm(xi)) 表示模型的损失函数，由提升树的原理可知，模型的损失函数随着迭代次数的增加而降低。如上图，梯度和负梯度分别为绿色线和红色线，当我们用当前的学习模型 fm(xi) 沿着负梯度方向增加时，损失函数是下降最快的，因此，GBDT算法思想是可行的。

  PS：李航老师《统计学习方法》P152的GBDT算法表达式：

  个人觉得下式的模型表示法可能会更好：

4. GBDT常用损失函数

  由上面两节可知，提升树是用决策树去拟合上一轮的损失函数，GBDT是用决策树去拟合上一轮损失函数的梯度。因此，只要知道模型的损失函数，就能通过前向分布算法计算每轮弱学习器模型的参数，本节总结了GBDT常用的损失函数。

  （1）分类算法
  a) 指数损失函数：

  对应负梯度：

  b) 对数损失函数：

  对应负梯度：

  （2）回归算法
  这里不讨论最常用的损失函数，如均方差和绝对损失函数。本节介绍对异常点有较好鲁棒性的Huber损失和分位数损失。

  a) Huber损失函数：它是均方差和绝对损失的折衷产物，对于远离中心的异常点，采用绝对损失，而中心附近的点采用均方差。这个界限一般用分位数点度量。损失函数如下：

  对应的负梯度：

  b) 分位数损失。它对应的是分位数回归的损失函数，表达式为

  其中， 为分位数，需要在回归前设置，对应的负梯度：

5. GBDT的正则化

  正则化是为了防止模型处于过拟合，GBDT的正则化主要有三种方式：
  （1）GBDT是加法模型，因此，模型可表示为：

  加上正则化项v，则有：

  v的取值范围为：0< v ≤ 1。达到同样的训练集学习效果，（2）式需要更多的迭代次数，即（2）式模型的复杂度较小。

  （2） 对训练集进行无放回抽样，抽样比例为 v（0 < v ≤ 1）。取部分样本去做GBDT决策树的拟合可以降低方差，但是会增加偏差。

  （3） 对每轮拟合的损失函数梯度的回归树进行剪枝，剪枝算法参考CART剪枝过程。

6. GBDT与AdaBoost的模型比较

  假设初始化
  AdaBoost模型表示为：

  GBDT模型表示为：

  比较这两式，你会发现GBDT模型没有权值 αi，原因是：AdaBoost每次都是对不同分布（权值）的原始数据集进行训练，得到一系列弱学习器，然后结合权值得到最终模型；GBDT模型没有权值是因为弱学习器是拟合上一轮的残差，随着回归树个数的增加，残差越来越小，因此弱学习器不需要权值。

7. 总结

  本文介绍了boosting族的提升树算法和GBDT算法，提升树算法的每轮弱学习器是拟合上一轮的残差生成的，GBDT算法的每轮弱学习器是拟合上一轮损失函数的负梯度生成的。提升树算法和GBDT算法都是用CART回归树作为弱学习器，只要确定模型的损失函数，提升树和GBDT就可以通过前向分布算法进行构建。