ST表是一种可以极大地减少时间复杂度的算法,能有效防止TLE。下午听了大佬讲课后仍然有些不通之处,因此做一则笔记复习整理。
前言
一、ST表是什么?
初始思路
首先我们思考一个问题,n个数,m次询问,求[L,R]的区间内的最大值(或者最小值)。显然,这个问题可以用暴力来解决,但是如果n和m的数据很大,那么就会超时,我们需要一种新的算法来解决–ST表。
ST表的作用,就是给定L和R值,我可以知道L和R值区间内的极值,相当于是一种预处理,把所有的情况都打表提前写在了ST表内,需要的时候直接调用,这样就把复杂度缩到O(nlogn)了(同时不需要排序)。
倍增
这里要引入一个倍增的思想(不然时间复杂度还是大的),而倍增的独特之处在于,他在预处理的时候时间复杂度仅仅只需要O(nlogn),而查询也只需要O(1)。
定义
我们定义一个二维数组:st[i][j]是从i开始,一直到i+2^j这个区间的最大(小)值,也就是st[i][j]=max { [i,i+2^j) }
然后将ST表的第一列初始化st[i][0] = a[i];
其他位置需要通过递归推导,公式是这样子的:
st[i][j] = max{st[i][j - 1],st[i + 2^{j-1}][j - 1]}
代码是这样实现的:
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=n;i++)
const int maxn = 100010;
int st[maxn][21];
int a[maxn];
int n;
void init(){
rep(i,1,n)st[i][0] = a[i];
rep(j,1,20)
for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)
st[i][j] = max(st[i][j-1],st[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}
查询
现在表已经建好了,我们需要输入l和r,查询到这个区间的最大值
查询这边也相应着有一个公式,若需要查询的区间左端下标是l,右端是r,则有x=log2(r-l+1)
ans=max{st[l][x],st[r - 2^x + 1][x]}
代码实现如下:
int query(int l, int r)
{
int renk = log2(r - l + 1);
return max(st[l][renk], st[r - (1 << renk) + 1][renk]);
}
二、板子题
题目背景
这是一道ST表经典题——静态区间最大值
请注意最大数据时限只有0.8s,数据强度不低,请务必保证你的每次查询复杂度为 O(1)O(1)。若使用更高时间复杂度算法不保证能通过。
如果您认为您的代码时间复杂度正确但是 TLE,可以尝试使用快速读入:
inline int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while (!isdigit(ch)){
if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
while (isdigit(ch)){
x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
return x*f;
}
题目描述
给定一个长度为 N 的数列,和 M 次询问,求出每一次询问的区间内数字的最大值。
输入格式
第一行包含两个整数 N, M ,分别表示数列的长度和询问的个数。
第二行是N的数据,之后M行是查询的l和r
输出格式
输出包含 M行,每行一个整数,依次表示每一次询问的结果。
输入输出样例
输入:
8 8
9 3 1 7 5 6 0 8
1 6
1 5
2 7
2 6
1 8
4 8
3 7
1 8
输出:
9
9
7
7
9
8
7
9
# 板子的AC代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e6+10;
inline int read()
{
char c=getchar();int x=0,f=1;
while(c<'0'||c>'9'){
if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9'){
x=x*10+c-'0';c=getchar();}
return x*f;
}
int Max[maxn][21];
int main(){
int n=read(),m=read();
for(int i=1;i<=n;i++) Max[i][0]=read();
for(int j=1;j<=20;j++)
for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;++i)
Max[i][j]=max(Max[i][j-1],Max[i+(1<<(j-1))][j-1]);
int l,r;
for(int i=1;i<=m;++i){
scanf("%d %d",&l,&r);
int renk = log2(r-l+1);
int temp = max(Max[l][renk],Max[r-(1<<renk)+1][renk]);
printf("%d\n",temp);
}
return 0;
}
总结
ST表的知识点挺难理解的,涉及到一些背包dp,所以建议先把板子背下来,然后做笔记打表帮助理解