在上一节里面，我们讨论了接收滤波器采用低通滤波器，这其实是延续了模拟系统的做法，通过低通滤波器限制进入接收机的噪声功率。但在数字系统里，这并不是最好的做法。所以这一节，我们讨论最佳接收机，也就是匹配滤波器。所以，我们先来看看，什么是匹配滤波器；再用匹配滤波器作为接收滤波器，分析系统的误码性能。

1、匹配滤波器

  在图1中，滤波器$h(t)$的输入信号$x(t)=s(t)+n_w(t)$，其中$s(t)$为有用信号，$n_w(t)$为单边功率谱密度为$N_0$的加性高斯白噪声；滤波器输出信号为$y(t)=x(t)\ast h(t)=s_o(t)+n(t)$，这里$s_o(t)=s(t)\ast h(t)$，$n(t)=n_w(t)\ast h(t)$。

1.1 匹配滤波器定义

  对于输出信号$y(t)$，我们定义在$t_0$时刻的输出信噪比为有用信号$s_o(t)$的瞬时功率$s_o^2(t_0)$与输出噪声$n(t)$的平均功率之比，即
$${\eta }_0=\frac{s_o^2(t_0)}{E[n^2(t)]}\text{\hspace{1em}(1)}$$在时刻$t_0$，能够使输出信噪比${\eta }_0$最大的线性滤波器，被称为信号$s(t)$的匹配滤波器。

1.2 匹配滤波器的冲激响应

  下面我们来推导匹配滤波器的冲激响应$h(t)$与频域传递函数$H(f)$。由于
$$s_o(t)=s(t)\ast h(t)\leftarrow \to S_o(f)=S(f)H(f),$$有
$$s_o(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }{S}_o(f)e^{j2\pi f_t}df={\int }_{-\infty }^{\infty }S(f)H(f)e^{j2\pi ft}df$$因此，可以得到信号$s_o(t)$在$t_0$时刻的取值为
$$s_o(t_0)={\int }_{-\infty }^{\infty }S(f)H(f)e^{j2\pi f{t}_0}df,$$其瞬时功率为
$$s_o^2(t_0)=|{\int }_{-\infty }^{\infty }S(f)H(f)e^{j2\pi f{t}_0}df{|}^2.$$对于输出噪声$n_o(t)$，由于$n(t)$的功率谱密度为
$$P_{N_w}(f)=\frac{N_0}{2},-\infty <f<\infty$$因此，滤波器$H(f)$输出噪声$n(t)$的功率谱密度为
$$P_N(f)=\frac{N_0}{2}|H(f){|}^2,$$平均功率为$P_N={\int }_{-\infty }^{\infty }{P}_N(f)df$。输出信噪比可以进一步写成
$${\eta }_0=\frac{|{\int }_{-\infty }^{\infty }S(f)H(f)e^{j2\pi f{t}_0}df{|}^2}{{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{N_0}{2}|H(f){|}^{2}df}$$

施瓦尔兹不等式：
$$|{\int }_{-\infty }^{\infty }X(f)H(f)df{|}^2\le {\int }_{-\infty }^{\infty }|X(f){|}^{2}df{\int }_{-\infty }^{\infty }|H(f){|}^{2}df$$当且仅当$X(f)=K{H}^{\ast }(f)$时，等号成立。

  根据施瓦尔兹不等式，有
$$\begin{array}{rl}{\eta }_0& =\frac{|{\int }_{-\infty }^{\infty }H(f)[S(f)e^{j2\pi f{t}_0}]df{|}^2}{\frac{N_0}{2}{\int }_{-\infty }^{\infty }|H(f){|}^{2}df}\\ & =\frac{{\int }_{-\infty }^{\infty }|H(f){|}^{2}df\cdot {\int }_{-\infty }^{\infty }|S(f){|}^{2}df}{\frac{N_0}{2}{\int }_{-\infty }^{\infty }|H(f){|}^{2}df}\\ & =\frac{{\int }_{-\infty }^{\infty }|S(f){|}^{2}df}{\frac{N_0}{2}}\\ & =\frac{2E_s}{N_0}\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$其中，$E_s={\int }_{-\infty }^{\infty }|S(f){|}^{2}df={\int }_{-\infty }^{\infty }{s}^2(t)|dt$为信号$s(t)$的能量。显然，(2)中等号成立的条件为
$$H(f)=K{S}^{\ast }(f)e^{-j2\pi f{t}_0},\text{\hspace{1em}(3)}$$此时，可以得到信噪比最大值为
$${\eta }_{0,\max }=\frac{2E_s}{N_0}.\text{\hspace{1em}(4)}$$进一步，可以得到匹配滤波器的冲激响应为
$$\begin{array}{rl}h(t)& ={\int }_{-\infty }^{\infty }H(f)e^{-j2\pi ft}df={\int }_{-\infty }^{\infty }K{S}^{\ast }(f)e^{-j2\pi f{t}_0}{e}^{-j2\pi ft}df\\ & =K{\int }_{-\infty }^{\infty }[{\int }_{-\infty }^{\infty }s(\tau )e^{-j2\pi f\tau }d\tau {]}^{\ast }{e}^{-j2\pi f(t_0-t)}df\\ & =K{\int }_{-\infty }^{\infty }[{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{j2\pi f(\tau -t_0+t)}df]s(\tau )d\tau \\ & =K{\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (\tau -t_0+t)s(\tau )d\tau \\ & =Ks(t_0-t).\end{array}\text{\hspace{1em}(5)}$$

1.3 匹配滤波器的物理可实现性

  根据(5)可知，在图1中，为了使得滤波器$h(t)$的输出信噪比在$t_0$达到最大值，有$h(t)=Ks(t_0-t)$，此时信噪比最大值为${\eta }_{0,\max }=\frac{2E_s}{N_0}$。进一步，考虑滤波器的物理可实现性，有当$t<0$时，$h(t)=0$。设$t^{\prime }=t_0-t$，有$h(t_0-t^{\prime })=Ks(t^{\prime })$，因此得到当$t^{\prime }>t_0$时，$s(t^{\prime })=0$。也就是说，为了保证与$s(t)$匹配的滤波器$h(t)$的物理可实现性，信号$s(t)$应该在信噪比达到最大值的时刻点$t_0$之前结束。

1.4 用相关器来等效匹配滤波器

  在图1中，若滤波器的输入信号为$x(t)=s(t)+n_w(t)$，为了使得输出信号$y(t)=s_o(t)+n(t)$在$t_0$时刻的信噪比达到最大，我们采用匹配滤波器$h(t)=s(t_0-t)$，因此可以得到输出信号为
$$\begin{array}{rl}y(t)& =x(t)\ast h(t)={\int }_0^{t}x(\tau )h(t-\tau )d\tau \\ & ={\int }_0^{t}x(\tau )s(t_0-t+\tau )d\tau \\ & ={\int }_0^t[s(\tau )+n_w(\tau )]s(t_0-t+\tau )d\tau \end{array}\text{\hspace{1em}(6)}$$根据物理可实现条件，我们取$t_0=T$，这里$T$为信号$s(t)$结束的时刻，因此有
$$\begin{array}{r}y(t)={\int }_0^t[s(\tau )+n_w(\tau )]s(T-t+\tau )d\tau \end{array}\text{\hspace{1em}(6)}$$进一步，$t=T$时刻$y(t)$抽样值为
$$y(T)={\int }_0^T[s(\tau )+n_w(\tau )]s(\tau )d\tau \text{\hspace{1em}(7)}$$从(7)可以看出，我们可以用图2所示的相关器来等效匹配滤波器，这样在$t=T$点的抽样值是相同的。由于相关器不需要滤波器的卷积运算，在分析时候更简单，因此在后面的讨论中，我们大多采用相关器进行分析。在图2中可以看到，由于滤波器是与$s(t)$匹配，因此相关器中是与$s(t)$相乘，并且在时刻$T$抽样。

2、采用匹配滤波器的二进制基带传输系统误码性能分析

2.1 系统模型

  从图3看出，在发射机中，我们首先进行线路编码，随后通过窄脉冲和脉冲成型，产生发送信号$s(t)$。这里我们考虑二进制系统，即发射机发送两种不同信号波形，分别表示"1"和"0"。例如，我们可以用图4(a)中的$s_1(t)$和(b)中$s_2(t)$，分别表示“1”和“0”。

  发射机发送的信号$s_i(t),i=1,2$，经过信道后到达接收机，因此接收信号可以表示为：
$$r(t)=s(t)\ast c(t)+n_w(t),\text{\hspace{1em}(8)}$$这里$c(t)$为信道的冲激响应，$n_w(t)$为加性高斯白噪声。
  这里我们考虑带宽无限的理想AWGN信道，因此有到达接收机的信号为
$$r(t)=s(t)+n_w(t).\text{\hspace{1em}(9)}$$

  下面我们来讨论接收滤波器$g_R(t)$的设计。采用与$s_1(t)$相匹配的MF，我们可知$g_R(t)=s_1(T_s-t)$，这里的$T_s$为信号$s_1(t)$持续时间，如图4所示。

2.2 判决变量$y$的条件概率密度函数

  图3中，接收滤波器$g_R(t)$输出的信号$y(t)$，在$T_s$点进行抽样后，得到判决变量$y$，再对$y$进行判决。在图5中，我们用相关器来等效匹配滤波器。

（1）发送信号为$s_1(t)$时的判决变量

  若发射信号为$s_1(t)$，接收信号$r(t)=s_1(t)+n_w(t)$，可以得到判决变量为
$$\begin{array}{rl}y& =y(T_s)={\int }_0^{T_s}[s_1(\tau )+n_w(\tau )]s_1(\tau )d\tau \\ & ={\int }_0^{T_s}{s}_1^2(\tau )d\tau +{\int }_0^{T_s}{s}_1(\tau )n_w(\tau )d\tau \\ & =E_{s1}+Z.\end{array}\text{\hspace{1em}(10)}$$其中$E_{s1}={\int }_0^{T_s}{s}_1^2(\tau )d\tau$为信号$s_1(t)$的能量，噪声项
$$\begin{array}{r}Z={\int }_0^{T_s}{s}_1(\tau )n_w(\tau )d\tau \end{array}\text{\hspace{1em}(11)}$$的条件均值为
$$\mathrm{E}(Z|s_1)=0\text{\hspace{1em}(12)}$$方差为
v a r ( Z ∣ s 1 ) = E { [ Z − E ( Z ) ] 2 ∣ s 1 } = E [ ∫ 0 T s ∫ 0 T s n w ( t 1 ) n w ( t 2 ) s 1 ( t 1 ) s 1 ( t 2 ) d t 1 d t 2 ] = ∫ 0 T s ∫ 0 T s E [ n w ( t 1 ) n w ( t 2 ) ] s 1 ( t 1 ) s 1 ( t 2 ) d t 1 d t 2 . (13) \tag{13} \begin{aligned} {\rm var}(Z|s_1)&={\rm E}{\Large \{}[Z-{\rm E}(Z)]^2|s_1{\Large \}}\\ &={\rm E}{\Large [}\int_0^{T_s}\int_0^{T_s}n_w(t_1)n_w(t_2)s_1(t_1)s_1(t_2)dt_1dt_2 {\Large ]}\\ &=\int_0^{T_s}\int_0^{T_s}{\rm E}{\Large [}n_w(t_1)n_w(t_2){\Large ]}s_1(t_1)s_1(t_2)dt_1dt_2. \end{aligned} var(Z∣s1​)​=E{ [Z−E(Z)]2∣s1​}=E[∫0Ts​​∫0Ts​​nw​(t1​)nw​(t2​)s1​(t1​)s1​(t2​)dt1​dt2​]=∫0Ts​​∫0Ts​​E[nw​(t1​)nw​(t2​)]s1​(t1​)s1​(t2​)dt1​dt2​.​(13)其中，
$$\mathrm{E}[n_w(t_1)n_w(t_2)]=R_w(\tau )=\frac{N_0}{2}\delta (\tau ),\tau =t_2-t_1,\text{\hspace{1em}(14)}$$这里$R_w(\tau )$为AWGN的自相关函数。将(14)代入(13)，可以得到
$$\begin{array}{rl}\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}(Z|s_1)& =\frac{N_0}{2}{\int }_0^{T_s}{s}_1^2(t)dt=\frac{N_0}{2}{E}_{s1}.\end{array}\text{\hspace{1em}(15)}$$显然，我们有$Z\sim \mathcal{N}(0,\frac{N_0}{2}{E}_{s1})$，故$y\sim \mathcal{N}(E_s,\frac{N_0}{2}{E}_{s1})$。
  因此，我们可以得到发送信号为$s_1(t)$时判决变量$y$的条件概率密度函数为
$$p(y|s_1)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_n}{e}^{-\frac{(y-E_{s1}{)}^2}{2{\sigma }_n^2}},\text{\hspace{1em}(16)}$$其中${\sigma }_n^2=\frac{N_0}{2}{E}_{s1}$为(15)推导得到的噪声平均功率。

（2）发送信号为$s_2(t)$时的判决变量

  若发射信号为$s_2(t)$，我们按照上面步骤进行推导，可以得到判决变量为
$$y={\int }_0^{T_s}{s}_1(\tau )s_2(\tau )d\tau +Z\text{\hspace{1em}(17)}$$因此$y\sim \mathcal{N}(R_{12},\frac{N_0}{2}{E}_s)$，这里${\rho }_{12}={\int }_0^{T_s}{s}_1(t)s_2(t)dt$为信号$s_1(t)$与$s_2(t)$的相关系数。我们分别考虑单极性和双极性两种情况。若为单极性波形，即$s_2(t)=0$，有${\rho }_{12}=0$，因此可以得到发送信号为$s_2(t)$时判决变量$y$的条件概率密度函数为
$$p_{(}y|s_2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_n}{e}^{-\frac{y^2}{2{\sigma }_n^2}}.\text{\hspace{1em}(18)}$$若为双极性波形，即$s_2(t)=-s_1(t)$，有${\rho }_{12}=-{\int }_0^{T_s}{s}_1^2(t)dt=-E_{s1}$，因此可以得到发送信号为$s_2(t)$时判决变量$y$的条件概率密度函数为
$$p(y|s_2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_n}{e}^{-\frac{(y+E_{s1}{)}^2}{2{\sigma }_n^2}}.\text{\hspace{1em}(19)}$$

2.3 码元错误概率公式推导

  单极性以及双极性情况下，判决变量$y$的条件概率密度函数曲线分别如图6中(a)和(b)所示。我们假定$s_1(t)$和$s_2(t)$分别代表二进制信息的"1"和“0”，且二者发送概率相等，即$P_0=P_1=\frac{1}{2}$，因此系统的误码率为$P_e=\frac{1}{2}(P_{e0}+P_{e1})$，其中
$$P_{e0}=\mathrm{P}\mathrm{r}(y>V_T|s_2)$$为发送’0’时候的错误概率，$V_T$为判决门限；而
$$P_{e1}=\mathrm{P}\mathrm{r}(y<V_T|s_1)$$为发送’0’时候的错误概率。由于“0”、“1”发送概率相等，因此最佳判决门限取在两条条件概率曲线均值的重点，即单极性时$V_T=\frac{E_s}{2}$，双极性时$V_T=0$。

  与上一节低通滤波器的推导类似，我们可以得到发$s_1(t)$时的误码率为红色阴影部分，即单极性时为
$$P_{e,单}=Q(\frac{E_{s1}/2}{{\sigma }_n}),$$双极性时候为$$P_{e,双}=Q(\frac{E_s}{{\sigma }_n}),$$将${\sigma }_n^2=\frac{N_0}{2}{E}_{s1}$代入，有
$$P_{e,单}=Q(\sqrt{\frac{E_{s1}}{2N_0}}),\text{\hspace{1em}(20)}$$以及$$P_{e,双}=Q(\sqrt{\frac{2E_{s1}}{N_0}}).\text{\hspace{1em}(21)}$$进一步，我们注意到对于双极性信号，有$s_1(t)$与$s_2(t)$的信号能量相等，即$E_{s1}=E_{s2}$，因此信号的平均功率为$E_s=E_{s1}=E_{s2}$；对于单极性信号，$s_1(t)$的信号能量为$E_{s1}$，而$s_2(t)$的信号能量为0，如果$s_1(t)$与$s_2(t)$出现概率相等，则信号$s(t)$的平均功率为$E_s=\frac{E_{s1}+E_{s2}}{2}=\frac{E_{s1}}{2}$。将$E_s$代入(20)和(21)中，有
$$P_{e,单}=Q(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}),\text{\hspace{1em}(22)}$$以及$$P_{e,双}=Q(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}).\text{\hspace{1em}(23)}$$