算法 跳台阶基础版、改进版（不能连续跳2阶）
@author：Jingdai
@date:2020.11.15
跳台阶（青蛙跳）是一个非常经典的算法问题，前几天看面试题看到一个跳台阶的改进版（不能连续跳2个台阶），现总结一下。
在介绍改进版解法之前先复习一下基础版，不想看的可以直接跳到改进版部分。
基础版
题目描述
有一个 n 阶的楼梯，你从最下面往上跳，每次可以跳1阶或2阶，有多少种方法可以跳到楼顶？
思路及代码
这个基础版很简单，对于第 n 阶，你只有两种方式跳上去：
- 从 n-1 阶跳1阶跳上去
- 从 n-2 阶跳2阶跳上去
所以就可以得到递推式：
然后可以利用递归方式求解或利用dp方式求解。看下面的代码：
递归方式（不推荐，复杂度高，n较大时容易超时）
public int jumpStairs(int n) { if (n <= 3) return n; return jumpStairs(n-1) + jumpStairs(n-2); }dp方式
public int jumpStairs(int n) { if (n <= 3) return n; int[] dp = new int[n]; for (int i = 0; i < n; i++) { if (i <= 2) { dp[i] = i+1; } else { dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]; } } return dp[dp.length-1]; }同时发现 dp 时只需要最后一个n的结果，所以可以优化一下空间复杂度，得到如下的代码：
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优化dp
public int jumpStairs(int n) { if (n <= 3) return n; int prePre = 2; int pre = 3; int cur = 5; for (int i = 4; i <= n; i++) { cur = prePre + pre; prePre = pre; pre = cur; } return cur; }同时，你会发现这个递归式就是斐波那契数列的式子，所以也可以直接用斐波那契数列的公式直接进行计算。
改进版
题目描述
题目基本一样，有一个 n 阶的楼梯，你从最下面往上跳，每次可以跳1阶或2阶，但是不能连续跳两次2阶，有多少种方法可以跳到楼顶？
思路及代码
利用之前基础版的思路，对于第 n 阶，你只有两种方式跳上去：
- 从 n-1 阶跳1阶跳上去
- 从 n-2 阶跳2阶跳上去（同时 n-2 阶必须是跳 1 阶跳上去的）
这里多了一个限制：从 n-2 阶跳 2 阶跳到 n 阶的 n-2 阶状态必须是从 n-3 阶跳1阶跳到 n-2 阶的。所以，这里我们动态规划不仅要保存跳到第 i 阶的所有方法数，还要保存最后一步通过跳 1 阶跳到第 i 阶的方法数。这里用
f(n)表示跳到第 n 阶的总方法数，用g(n)表示最后一步跳一阶跳到第 n 阶的方法数，这样就得到递推式：
根据此就可以写代码了，看下面的代码片段。
public int modifiedJumpStairs(int n) { if (n <= 3) return n; // first total methods number // second last step is one step methods number int[][] dp = new int[n][2]; dp[0][0] = 1; dp[0][1] = 1; dp[1][0] = 2; dp[1][1] = 1; dp[2][0] = 3; dp[2][1] = 2; for (int i = 3; i < n; i++) { dp[i][0] = dp[i-1][0] + dp[i-2][1]; dp[i][1] = dp[i-1][0]; } return dp[dp.length-1][0]; }我们再细心观察上面的递推式。
如图，递推式进行代换后可以更加简单。根据推出的结论，可以将二维数组改成一维数组，看下面的代码片段。
public int modifiedJumpStairs(int n) { if (n <= 3) return n; int[] dp = new int[n]; for (int i = 0; i < n; i++) { if (i <= 2) { dp[i] = i+1; } else { dp[i] = dp[i-1] + dp[i-3]; } } return dp[dp.length-1]; }当然，上面代码还可以优化，因为只需要最后一个为 n 的结果，前面的都不需要，故可以把空间复杂度优化为
O(1)，如下代码。public int modifiedJumpStairs(int n) { if (n <= 3) return n; int prePrePre = 1; int prePre = 2; int pre = 3; int cur = 4; for (int i = 4; i <= n; i++) { cur = pre + prePrePre; prePrePre = prePre; prePre = pre; pre = cur; } return cur; }
